选择题 1

题目

袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个黄球，30 个白球。现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是多少？

A. $1/5$ B. $2/5$ C. $3/5$ D. $4/5$

解答

方法一：使用全概率公式

定义事件：
- 设 $A_{1}$ 为事件“第一个人取到黄球”。
- 设 $B_{1}$ 为事件“第一个人取到白球”。
- 设 $A_{2}$ 为事件“第二个人取到黄球”。
我们需要计算的概率： $P (A_{2})$
分析可能的情况： 第二个人取到黄球有两种互斥的情况：
- 情况一：第一个人取到黄球，且第二个人也取到黄球。其概率为 $P (A_{1} \cap A_{2}) = P (A_{1}) \times P (A_{2} ∣ A_{1})$ 。
- 情况二：第一个人取到白球，且第二个人取到黄球。其概率为 $P (B_{1} \cap A_{2}) = P (B_{1}) \times P (A_{2} ∣ B_{1})$ 。
计算各事件的概率：
- 袋中共有 50 个球，其中黄球 20 个，白球 30 个。
- 第一个人取球时：
  - 取到黄球的概率 $P (A_{1}) = \frac{黄球数量}{总球数} = \frac{20}{50}$ 。
  - 取到白球的概率 $P (B_{1}) = \frac{白球数量}{总球数} = \frac{30}{50}$ 。
- 第二个人取球时（考虑到第一个人的取球结果）：
  - 如果第一个人取到黄球 ( $A_{1}$ 发生)，袋中剩余 49 个球，其中黄球 19 个。则第二个人取到黄球的条件概率 $P (A_{2} ∣ A_{1}) = \frac{19}{49}$ 。
  - 如果第一个人取到白球 ( $B_{1}$ 发生)，袋中剩余 49 个球，其中黄球 20 个。则第二个人取到黄球的条件概率 $P (A_{2} ∣ B_{1}) = \frac{20}{49}$ 。
应用全概率公式： $P (A_{2}) = P (A_{1}) \times P (A_{2} ∣ A_{1}) + P (B_{1}) \times P (A_{2} ∣ B_{1})$ $P (A_{2}) = (\frac{20}{50}) \times (\frac{19}{49}) + (\frac{30}{50}) \times (\frac{20}{49})$ $P (A_{2}) = \frac{20 \times 19}{50 \times 49} + \frac{30 \times 20}{50 \times 49}$ $P (A_{2}) = \frac{380}{2450} + \frac{600}{2450}$ $P (A_{2}) = \frac{380 + 600}{2450}$ $P (A_{2}) = \frac{980}{2450}$
简化概率： $P (A_{2}) = \frac{980 \div 10}{2450 \div 10} = \frac{98}{245}$ $P (A_{2}) = \frac{98 \div 49}{245 \div 49} = \frac{2}{5}$

方法二：利用对称性

在不放回抽样中，对于任何一次抽取，在不知道前面抽取结果的情况下，每个球被抽到的概率是相同的。因此，第二个人取到黄球的概率等于第一个人取到黄球的概率。

第一个人取到黄球的概率为： $P (第一个人取到黄球) = \frac{黄球数量}{总球数} = \frac{20}{50} = \frac{2}{5}$
根据对称性，第二个人取到黄球的概率也是 $\frac{2}{5}$ 。

结论

第二人取到黄球的概率是 $\frac{2}{5}$ 。

对应于修正后的选项，答案是 B.

Youliang Zhong

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