七、（10分）

七、（10分）

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，

• $X$ 服从参数为 $1$ 的指数分布，
• $Y$ 服从参数为 $2$ 的指数分布,
• $V=\min (X,2Y)$,
• $U=\max (X,2Y)$.

求

1. 随机变量 $V$ 的概率密度;
2. $Cov(U,V)$.

解答步骤与解释：

1. 随机变量的分布：
   • $X\sim Exp(1)$: $f_X(x)=e^{-x}$ for $x>0$, $F_X(x)=1-e^{-x}$ for $x>0$. $E(X)=1/1=1$, $Var(X)=1/1^2=1$.
   • $Y\sim Exp(2)$: $f_Y(y)=2e^{-2y}$ for $y>0$, $F_Y(y)=1-e^{-2y}$ for $y>0$.
2. $W=2Y$ 的分布： $F_W(w)=P(W\le w)=P(2Y\le w)=P(Y\le w/2)=F_Y(w/2)$ For $w/2>0⟹w>0$: $F_W(w)=1-e^{-2(w/2)}=1-e^{-w}$ for $w>0$. 所以 $W\sim Exp(1)$。 $f_W(w)=e^{-w}$ for $w>0$. $E(W)=E(2Y)=2E(Y)=2(1/2)=1$. $Var(W)=Var(2Y)=2^{2}Var(Y)=4(1/2^2)=1$. 由于 $X,Y$ 独立, $X$ 和 $W=2Y$ 也独立。

(1) 随机变量 $V=\min (X,W)$ 的概率密度：

1. $V$ 的分布函数 $F_V(v)$： $F_V(v)=P(V\le v)=1-P(V>v)$. $P(V>v)=P(\min (X,W)>v)=P(X>v\text{ and }W>v)$. 由于 $X,W$ 独立： $P(V>v)=P(X>v)P(W>v)$. $P(X>v)=1-F_X(v)=e^{-v}$ for $v>0$. $P(W>v)=1-F_W(v)=e^{-v}$ for $v>0$. So, $P(V>v)=e^{-v}\cdot e^{-v}=e^{-2v}$ for $v>0$. $F_V(v)=1-e^{-2v}$ for $v>0$.
2. $V$ 的概率密度函数 $f_V(v)$： $f_V(v)=\frac{d}{dv}{F}_V(v)=\frac{d}{dv}(1-e^{-2v})=2e^{-2v}$ for $v>0$. 所以 $V\sim Exp(2)$。

(2) $Cov(U,V)$：

1. 性质： $U=\max (X,W)$ and $V=\min (X,W)$. 我们有 $U+V=X+W$ 和 $UV=XW$.
2. $Cov(U,V)$ 的计算： $Cov(U,V)=E(UV)-E(U)E(V)$. $E(UV)=E(XW)$. 由于 $X,W$ 独立, $E(XW)=E(X)E(W)$. $E(X)=1$ (since $X\sim Exp(1)$). $E(W)=1$ (since $W\sim Exp(1)$). So $E(UV)=E(XW)=1\cdot 1=1$.
3. 计算 $E(V)$： $V\sim Exp(2)$, so $E(V)=1/2$.
4. 计算 $E(U)$： $E(U+V)=E(X+W)$. $E(U)+E(V)=E(X)+E(W)$ (由于 $X,W$ 独立, $E(X+W)=E(X)+E(W)$). $E(U)+\frac{1}{2}=1+1=2$. $E(U)=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$.
5. 代入计算 $Cov(U,V)$： $Cov(U,V)=E(UV)-E(U)E(V)=1-\left(\frac{3}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$.

答案：

• (1) 随机变量 $V$ 的概率密度为 $f_V(v)=2e^{-2v}$ for $v>0$ (即 $V\sim Exp(2)$)。
• (2) $Cov(U,V)=\frac{1}{4}$。