二、（10分）

二、（10分）

有 $a,b,c$ 三个盒子,

• $a$ 盒中有4个白球和2个黑球,
• $b$ 盒中有2个白球和1个黑球,
• $c$ 盒中有3个白球和3个黑球。

今掷一颗骰子以决定选盒。

• 若出现1, 2, 3点则选 $a$ 盒,
• 若出现4点, 则选 $b$ 盒,
• 若出现5,6点则选 $c$ 盒。

在选出的盒中任取一球。求

1. 求取出白球的概率;
2. 若取出的是白球，那么此球来自 $c$ 盒的概率。

（注：最后结果可以是小数或者分数，但分数不能四舍五入写成小数）

解答步骤与解释：

1. 定义事件：
   • $A$: 选到 $a$ 盒
   • $B$: 选到 $b$ 盒
   • $C$: 选到 $c$ 盒
   • $W$: 取出白球
2. 确定选盒概率：
   • $P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ (骰子出现1, 2, 3点)
   • $P(B)=\frac{1}{6}$ (骰子出现4点)
   • $P(C)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ (骰子出现5, 6点)
3. 确定各盒中取到白球的条件概率：
   • $P(W|A)=\frac{\text{a盒中白球数}}{\text{a盒中总球数}}=\frac{4}{4+2}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
   • $P(W|B)=\frac{\text{b盒中白球数}}{\text{b盒中总球数}}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$
   • $P(W|C)=\frac{\text{c盒中白球数}}{\text{c盒中总球数}}=\frac{3}{3+3}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

(1)

求取出白球的概率 $P(W)$： 根据全概率公式： $P(W)=P(W|A)P(A)+P(W|B)P(B)+P(W|C)P(C)$ $P(W)=\left(\frac{2}{3}\right)\cdot \left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{2}{3}\right)\cdot \left(\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)\cdot \left(\frac{1}{3}\right)$ $P(W)=\frac{1}{3}+\frac{2}{18}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{6}$ $P(W)=\frac{6}{18}+\frac{2}{18}+\frac{3}{18}=\frac{6+2+3}{18}=\frac{11}{18}$

(2)

若取出的是白球，那么此球来自 $c$ 盒的概率 $P(C|W)$： 根据贝叶斯公式： $P(C|W)=\frac{P(W|C)P(C)}{P(W)}$ $P(C|W)=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)\cdot \left(\frac{1}{3}\right)}{\frac{11}{18}}$ $P(C|W)=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{11}{18}}=\frac{1}{6}\cdot \frac{18}{11}=\frac{3}{11}$

答案

• (1) 取出白球的概率为 $\frac{11}{18}$。
• (2) 若取出的是白球，此球来自 $c$ 盒的概率为 $\frac{3}{11}$。