某年 某科 卷面

一、选择题（共10题，每题4分，共40分）

1

设 $A,B$ 为两个随机事件，且 $P(A)=P(B)=\frac{1}{3},P(AB)=\frac{1}{6}$ ，则 $A,B$ 中恰有一个事件发生的概率为 ( ). (A) $\frac{2}{3}$ (B) $\frac{1}{2}$ (C) $\frac{1}{3}$ (D) $\frac{1}{4}$

2

某人向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率为 $p(0<p<1)$, 则此人第4次射击恰好是第2次命中目标的概率为( )。 (A) $3p(1-p{)}^2$ (B) $6p(1-p{)}^2$ (C) $6p^2(1-p{)}^2$ (D) $3p^2(1-p{)}^2$

3

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度为 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}2-x-y,& 0<x<1,0<y<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$，则 $P\{X>2Y\}=()$。 (A) $\frac{7}{24}$ (B) $\frac{5}{12}$ (C) $\frac{11}{32}$ (D) $\frac{6}{13}$

4

设随机变量X与Y相互独立且同分布，且 $P\{X=-1\}=P\{X=1\}=0.5$，则 $P\{X=Y\}=()$。 (A) $\frac{1}{2}$ (B) $\frac{3}{4}$ (C) $\frac{1}{4}$ (D) $\frac{1}{8}$

5

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X\sim B(1,p),Y\sim B(2,p),0<p<1$, 则 $X+Y$ 与 $X-Y$ 的相关系数为 ( )。 (A) $-\frac{1}{6}$ (B) $\frac{3}{4}$ (C) $-\frac{1}{5}$ (D) $-\frac{1}{3}$

6

设随机变量序列 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 独立同分布，且 $X_1$ 的概率密度为 $f(x)=\{\begin{array}{ll}1-|x|,& |x|<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$。当 $n\to \infty$ 时，$\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i^2$ 依概率收敛于 ( )。 (A) $\frac{1}{8}$ (B) $\frac{1}{6}$ (C) $\frac{1}{3}$ (D) $\frac{1}{2}$

7

设 $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ 为总体 $N(1,4)$ 的一个样本，$\bar{X}$ 为样本均值，则下列结论中正确的是（ ）。 (A) $\frac{\bar{X}-1}{2/\sqrt{n}}\sim t(n)$ (B) $\frac{1}{4}{\sum }_{i=1}^n(X_i-1{)}^2\sim {\chi }^2(n-1)$ (C) $\frac{\bar{X}-1}{\sqrt{2}/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$ (D) $\frac{1}{4}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2\sim {\chi }^2(n-1)$

8

设总体 $X$ 服从区间 $[\theta ,2\theta ]$ ($\theta >0$) 上的均匀分布, $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ 是取自总体 $X$ 的样本, 那么 $\theta$ 的矩估计量 ${\hat{\theta }}_M$ 是( )。 (A) $\frac{1}{2}\bar{X}$ (B) $\frac{2}{3}\bar{X}$ (C) $\frac{3}{4}\bar{X}$ (D) $\frac{4}{5}\bar{X}$

9

设 $X_1,X_2$ 为来自总体 $N(0,{\sigma }^2)$ 的简单随机样本, 其中 $\sigma (\sigma >0)$ 是未知参数。若 $\hat{\sigma }=a|X_1+X_2|$ 为 $\sigma$ 的无偏估计, 则 $a=$ ( )。 (A) $\frac{\sqrt{\pi }}{2}$ (B) $\frac{\sqrt{\pi }}{3}$ (C) $\frac{\sqrt{\pi }}{4}$ (D) $\sqrt{\pi }$

10

随机变量 $X$ 的分布律为 $P(X=k)=\frac{1}{2^k},k=1,2,\dots$。 $Y$ 为 $X$ 被3除的余数，则 $E(Y)=$ ( )。 (A) $\frac{5}{6}$ (B) $\frac{7}{12}$ (C) $\frac{8}{7}$ (D) $\frac{5}{14}$

二、（10分）

有 $a,b,c$ 三个盒子, $a$ 盒中有4个白球和2个黑球, $b$ 盒中有2个白球和1个黑球, $c$ 盒中有3个白球和3个黑球。今掷一颗骰子以决定选盒。若出现1, 2, 3点则选 $a$ 盒, 若出现4点, 则选 $b$ 盒, 若出现5,6点则选 $c$ 盒。在选出的盒中任取一球。

1. 求取出白球的概率;
2. 若取出的是白球，那么此球来自 $c$ 盒的概率。

（注：最后结果可以是小数或者分数，但分数不能四舍五入写成小数）

三、（10分）

设供电站供应某地区1200户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每天用电量（单位：度）在[0，20]上服从均匀分布。现要以0.99的概率满足该地区居民供应电量的需求，问供电站每天至少需向该地区供应多少度电？(附： $\Phi (2.33)=0.99$)

四、（10分）

某次考试学生的考试成绩 $X$ 服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$, 其中 $\mu ,{\sigma }^2$ 均未知。现从中随意抽取容量为25的一个样本, 测得样本均值 $\bar{x}=66.5$, 样本修正方差 ${S^{\ast }}^2=100$

1. 求总体方差 ${\sigma }^2$ 的置信度为 0.90 的置信区间; （注：(1)小题结果就用分位数表示）
2. 在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下，检验是否可以认为这次考试的平均成绩为70分.

(附：$t_{0.95}(24)=1.7109$, $t_{0.95}(25)=1.7081$, $t_{0.975}(24)=2.0639$, $t_{0.975}(25)=2.0595$)

五、（10分）

设总体 $X$ 的密度函数是 $f(x;\theta )=\frac{1}{2\theta }{e}^{-\frac{|x|}{\theta }}$ ，其中 $\theta >0$ 是参数。样本 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 来自总体 $X$ 。

1. 求 $\theta$ 的最大似然估计 ${\hat{\theta }}_L$；
2. 证明 ${\hat{\theta }}_L$ 是 $\theta$ 的相合估计。

六、（10分）

已知随机变量 $X,Y$ 相互独立, 且 $X$ 的概率分布为: $P(X=1)=P(X=-1)=\frac{1}{2}$。$Y$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布 $(\lambda >0),Z=XY$.

1. 求 $Cov(X,Z)$;
2. 求 $Z$ 的分布律.

七、（10分）

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，$X$ 服从参数为1的指数分布，$Y$ 服从参数为2的指数分布, $V=\min (X,2Y),U=\max (X,2Y)$. 求

1. 随机变量 $V$ 的概率密度;
2. $Cov(U,V)$.