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设二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度为 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}2-x-y,& 0<x<1,0<y<1\\ 0,& \text{其他}\end{array},$ 则 $P\{X>2Y\}=()$ (A) $\frac{7}{24}$ (B) $\frac{5}{12}$ (C) $\frac{11}{32}$ (D) $\frac{6}{13}$

解答步骤与解释：

1. 我们需要计算积分 ${\iint }_{D}f(x,y)dxdy$，其中区域 $D$ 由条件 $0<x<1$, $0<y<1$ 和 $x>2y$ 定义。
2. 确定积分区域：
   • 从 $x>2y$，我们得到 $y<x/2$。
   • 由于 $x<1$，则 $y<1/2$。
   • 所以 $y$ 的范围是 $0<y<1/2$。
   • 对于给定的 $y$, $x$ 的范围是 $2y<x<1$。
3. 计算积分： $P(X>2Y)={\int }_0^{1/2}{\int }_{2y}^1(2-x-y)dxdy$
4. 先对 $x$ 积分： ${\int }_{2y}^1(2-x-y)dx={\left[2x-\frac{x^2}{2}-yx\right]}_{2y}^1$ $=\left(2(1)-\frac{1^2}{2}-y(1)\right)-\left(2(2y)-\frac{(2y{)}^2}{2}-y(2y)\right)$ $=\left(2-\frac{1}{2}-y\right)-\left(4y-\frac{4y^2}{2}-2y^2\right)$ $=\left(\frac{3}{2}-y\right)-(4y-2y^2-2y^2)=\frac{3}{2}-y-4y+4y^2=\frac{3}{2}-5y+4y^2$
5. 再对 $y$ 积分： ${\int }_0^{1/2}\left(\frac{3}{2}-5y+4y^2\right)dy={\left[\frac{3}{2}y-\frac{5y^2}{2}+\frac{4y^3}{3}\right]}_0^{1/2}$ $=\left(\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}-\frac{5}{2}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{4}{3}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3\right)-0$ $=\frac{3}{4}-\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{4}+\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{8}=\frac{3}{4}-\frac{5}{8}+\frac{1}{6}$ $=\frac{18-15+4}{24}=\frac{7}{24}$

答案：(A)