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设随机变量序列 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 独立同分布，且 $X_1$ 的概率密度为 $f(x)=\{\begin{array}{ll}1-|x|,& |x|<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}.$ 当 $n\to \infty$ 时，$\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i^2$ 依概率收敛于 ( )。 (A) $\frac{1}{8}$ (B) $\frac{1}{6}$ (C) $\frac{1}{3}$ (D) $\frac{1}{2}$

解答步骤与解释：

1. 根据大数定律，若 $Y_i=X_i^2$ 独立同分布，则 $\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{Y}_i$ 依概率收敛于 $E(Y_1)=E(X_1^2)$。
2. 计算 $E(X_1^2)$： $E(X_1^2)={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^{2}f(x)dx={\int }_{-1}^1{x}^2(1-|x|)dx$。
3. 由于被积函数 $x^2(1-|x|)$ 是偶函数： $E(X_1^2)=2{\int }_0^1{x}^2(1-x)dx=2{\int }_0^1(x^2-x^3)dx$ $=2{\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]}_0^1=2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)=2\left(\frac{4-3}{12}\right)=2\cdot \frac{1}{12}=\frac{1}{6}$。

答案：(B)