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设 $X_1,X_2$ 为来自总体 $N(0,{\sigma }^2)$ 的简单随机样本, 其中 $\sigma (\sigma >0)$ 是未知参数。 若 $\hat{\sigma }=a|X_1+X_2|$ 为 $\sigma$ 的无偏估计, 则 $a=$ ( )。 (A) $\frac{\sqrt{\pi }}{2}$ (B) $\frac{\sqrt{\pi }}{3}$ (C) $\frac{\sqrt{\pi }}{4}$ (D) $\sqrt{\pi }$

解答步骤与解释：

1. $\hat{\sigma }$ 是 $\sigma$ 的无偏估计意味着 $E(\hat{\sigma })=\sigma$。
2. 令 $Y=X_1+X_2$。由于 $X_1,X_2$ 独立且 $X_i\sim N(0,{\sigma }^2)$：
   • $E(Y)=E(X_1)+E(X_2)=0+0=0$。
   • $Var(Y)=Var(X_1)+Var(X_2)={\sigma }^2+{\sigma }^2=2{\sigma }^2$。
   • 所以 $Y\sim N(0,2{\sigma }^2)$。令 ${\sigma }_Y^2=2{\sigma }^2$, 则 ${\sigma }_Y=\sqrt{2}\sigma$。
3. 我们需要计算 $E(\hat{\sigma })=E(a|Y|)=aE(|Y|)$。
4. 对于一个正态分布 $W\sim N(0,{\tau }^2)$，有 $E(|W|)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\tau$。 这里 $Y\sim N(0,{\sigma }_Y^2)$，所以 $E(|Y|)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\sigma }_Y=\sqrt{\frac{2}{\pi }}(\sqrt{2}\sigma )=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sigma$。
5. 因此，$E(\hat{\sigma })=a\cdot \frac{2}{\sqrt{\pi }}\sigma$。
6. 因为 $\hat{\sigma }$ 是 $\sigma$ 的无偏估计，$E(\hat{\sigma })=\sigma$： $a\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sigma =\sigma$。
7. 解出 $a$： $a=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$。

答案：(A)