1.2.1 概率的统计定义

首先, 大量的事实表明, 人们在对某一随机现象进行大量的重复观测时, 发现随着观测次数 $n$ 的增加, 某一结果 $A$ (事件) 发生次数 $n_A$ 与 $n$ 比值 (频率)

$$f_n\left(A\right)=\frac{n_A}{n}$$

会在某一个介于 0 和 1 之间的数 $p$ 附近摆动, 我们称 $p$ 为事件 $A$ 发生频率的稳定值. 这个 $p$ 反映出事件 $A$ 发生的可能性的大小, 称之为 $A$ 发生的概率, 这便是概率的统计定义.

Example

我们用同一种方式一次次地掷一枚均匀的骰子, 观察出现点数的情况. 若投掷次数 $n=100$,也许看不出各点出现的频率接近 $1/6$. 但若 $n=1000$ 或 $n=10000$,就会发现各点出现的频率与 $1/6$ 很接近. 在概率论发展的历史上,曾有蒲丰 (Buffen) 和皮尔逊 (Pearson) 等人具体做过投均匀硬币的试验, 从中观测到随着投掷次数的增加, 出现正面和出现反面的频率越来越接近 50%.

概率的统计定义使人们相信可以用一个介于 0 和 1 之间的数来表示一个事件发生的可能性的大小, 即事件的概率是客观存在的, 但这种定义无法用来计算事件的概率, 因为试验次数多大才算合适, 无法确定. 另外, 所谓 “频率的稳定值”, 只有在概率的公理化定义之后, 用后文介绍的 “大数定律” 才能明确阐述 (见 5.1 推论 5.1.1 (伯努利大数定律)). 于是, 人们着手探讨概率的其他定义, 比如针对某些特殊的随机现象, 给出计算概率的合理方法或公式, 这就是我们本节下面介绍的概率的古典定义和几何定义.