例 1.3.3 (袋中摸取乒乓球)

袋中装有 $a$ 只白色乒乓球, $b$ 只黄色乒乓球. 现从中无放回地摸两次, 每次摸出 1 球. 试求第二次摸得黄球的概率.

解

记 $A=\{$ 第二次摸得黄球 $\}$. 由于是无放回抽取, 所以第一次抽取的结果会引起第二次抽取时袋中白球和红球个数的变化, 从而影响到第二次抽取结果发生的可能性的大小, 所以想到根据第一次抽取的结果来分别计算 $A$ 的概率.

记

• $B_1=\{$ 第一次摸得白球 $\}$,

• $B_2=\{$ 第一次摸得黄球 $\}$,

• 则 $B_1$ 和 $B_2$ 互不相容 $B_1\cup B_2=\Omega$, 进而用 (1.3.5) 得到

$$\begin{array}{rl}P(A)& =P(A{B}_1)+P(A{B}_2)\\ & =P(B_1)P(A\mid B_1)+P(B_2)P(A\mid B_2)\\ & =\frac{a}{a+b}\cdot \frac{b}{a+b-1}+\frac{b}{a+b}\cdot \frac{b-1}{a+b-1}\\ & =\frac{b}{a+b}.\end{array}$$