例 1.3.4 (工厂产品不合格品概率)

某工厂有四条生产线制造同一种产品, 已知各生产线的产量占总产量的比例分别为

• $15\%$, $20\%$, $30\%$ 和 $35\%$,

并且已知各生产线的产品不合格品率分别为

• 0.05, 0.04, 0.03 和 0.02.

现从该工厂的这一产品中任取一件, 试求取得的产品为不合格品的概率.

解

记 $A=\{$ 取得的产品为不合格品 $\}$. 依题意, 若知道取得的产品是哪条线生产的, 则该产品为不合格品的概率是已知的, 即为 0.05, 0.04, 0.03 或 0.02. 于是想到用产品来自的生产线来划分抽取一件产品的结果, 记

$$B_i=\{\text{取得的产品来自第}i\text{条生产线}\},i=1,2,3,4\text{.}$$

由题设知 $P\left(B_1\right)=0.15,P\left(B_2\right)=0.20,P\left(B_3\right)=0.30,P\left(B_4\right)=0.35$. 而 $P\left(A\mid B_1\right)=0.05,P\left(A\mid B_2\right)=0.04,P\left(A\mid B_3\right)=0.03,P\left(A\mid B_4\right)=0.02$, 从而利用 (1.3.5) 有

$$P\left(A\right)=0.15\times 0.05+0.20\times 0.04+0.30\times 0.03+0.35\times 0.02=0.0315.$$