例 1.3.5 (系统维护人员的配置问题)

某无线电话运营商同时担负 3 种制式的通话网络. 通过市场调查知, 无线电话使用者中用各网络电话卡的百分比分别为 $30\%,45\%$ 和 $25\%$, 且各网络出现故障的概率分别为 $0.3\%,0.2\%$ 和 $0.4\%$. 为最大限度地保证网络出现故障时有维护人员及时抢修, 问该如何配置维护人员的百分比.

解

记 $A=\{$ 一用户使用时网络出现故障 $\},B_i=\{$ 一用户使用第 $i$ 种网络 $\}$, $i=1,2,3$. 由于在同一时间只能用一张电话卡通话, 所以 $B_1,B_2,B_3$ 互不相容. 依题意,

• $P\left(B_1\right)=0.30$
• $P\left(B_2\right)=0.45$
• $P\left(B_3\right)=0.25$
• $P\left(A\mid B_1\right)=0.003$
• $P\left(A\mid B_2\right)=0.002$
• $P\left(A\mid B_3\right)=0.004$

从而, 由 (1.3.5) 有

$$P\left(A\right)=0.30\times 0.003+0.45\times 0.002+0.25\times 0.004=0.0028.$$

由 (1.3.6) 有

$$P\left(B_1\mid A\right)=\frac{0.30\times 0.003}{0.0028}=0.3214,$$ $$P\left(B_2\mid A\right)=\frac{0.45\times 0.002}{0.0028}=0.3214,$$ $$P\left(B_3\mid A\right)=\frac{0.25\times 0.004}{0.0028}=0.3571.$$

所以三网络应依次按 32.14%, 32.14% 和 35.71% 的百分比配置维护人员.