第一章 复习笔记

本章是概率论的基石，重点在于建立概率的公理化体系和引入核心概念。

• 1. 基本概念

  • 随机现象：概率论的研究对象。
  • 基本事件空间 ($\Omega$)：随机试验所有可能结果的集合，也称样本空间。
  • 事件 (Event)：基本事件空间 $\Omega$ 的子集。事件是人们感兴趣的特定结果集合。

• 2. 事件域 ($\mathcal{F}$) (或事件 $\sigma$-代数)

  • 定义：$\Omega$ 的一些子集构成的集合类 $\mathcal{F}$，如果满足以下三个条件，则称 $\mathcal{F}$ 为事件域：
    1. 包含基本事件空间：$\Omega \in \mathcal{F}$。
    2. 对补运算封闭：若 $A\in \mathcal{F}$，则 $\bar{A}\in \mathcal{F}$。
    3. 对可列并运算封闭：若 $\{A_n,n=1,2,\cdots \}$ 是 $\mathcal{F}$ 中的可列无穷事件序列，则 ${\bigcup }_{n=1}^{\infty }{A}_n\in \mathcal{F}$。
  • 重要性：
    • 保证事件经过运算后仍在事件域内。
    • 事件运算（和、积、差、对立）对于计算概率至关重要。
    • 特别是将复杂事件表示为若干互不相容事件的和，这是因为概率测度只有一个可用的性质：可列可加性。事件域保证了这种表示的有效性。
    • 运算法则：例如对偶律 $\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}$ 和 $\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}$。

• 3. 概率的公理化定义与概率空间

  • 这是概率论学科发展的重要里程碑。
  • 将直观概念抽象为概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$。
    • $\Omega$: 基本事件空间。
    • $\mathcal{F}$: 事件域。
    • $P$: 定义在事件域 $\mathcal{F}$ 上的概率测度。
  • 概率论建立在严密的测度论基础之上。
  • 概率测度的核心性质：可列可加性。

• 4. 概率的几种定义

  • 古典定义：适用于基本事件有限且等可能的情况。
  • 几何定义：$P(\text{点落到子区域 }G)=\frac{|G|}{|\Omega |}$。
  • 公理化定义：通过概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 给出。
  • 统计定义：在伯努利大数定律中有所体现。

• 5. 条件概率与独立性

  • 它们是概率论与测度论的分水岭，是概率论特有的概念。
  • 独立性 (Independence)：是初等概率论与数理统计讨论中最核心的条件。
  • 条件概率 (Conditional Probability)：引出全概率公式和贝叶斯公式。应理解为概率思想，而非简单计算公式。贝叶斯公式体现了如何利用新信息更新对原因发生的可能性判断。

• 重点和难点总结

  • 重点：

    • 理解概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 的构成及其数学意义。
    • 掌握事件域 ($\sigma$-代数) 的定义及其封闭性。
    • 理解概率测度的可列可加性是概率计算的核心。
    • 理解条件概率与独立性是概率论特有的重要概念。
    • 掌握事件运算及其法则，并能运用它们表示事件。

  • 难点：

    • 从实际问题中抽象出合适的基本事件空间 $\Omega$ 和事件域 $\mathcal{F}$ [隐含在例题和概念定义中]。
    • 理解事件域定义中可列性的必要性，以及它与概率测度可列可加性的联系。
    • 区分事件的独立性与互不相容性 [未直接说明但强调独立性核心地位暗示其重要]。
    • 将全概率公式和贝叶斯公式理解为概率思想，并能灵活应用。
    • 正确运用事件运算和概率性质进行复杂的概率计算。