第一章习题

1.1

试对下列随机试验写出相应的基本事件空间.

1. 将一颗骰子掷两次, 分别观测朝上一面出现的点数.
2. 观察某商店一天中到达的顾客数.
3. 在一批灯管中任意抽取一只, 测试它的寿命.
4. 在区间 $\left[a,b\right]$ 中随机地取两个数字.

1.2

一个袋中装有 12 个球, 分别标有号码 1 至 12, 现从中任取一球. 试写出基本事件空间,并用基本事件空间 $\Omega$ 的子集表示如下事件.

• $A=\{$ 所取出球的号码为奇数 $\}$.
• $B=\{$ 所取出球的号码不大于 8 $\}.$
• $C=\{$ 所取出球的号码为 3 的倍数 $\}$.

1.3

设 $A,B,C$ 为三个事件,用 $A,B,C$ 的运算表示下列各事件.

1. 仅 $A$ 发生.
2. 至少有一个事件发生.
3. 恰有两个事件发生.

1.4

记

• $A_i=$ “第 $i$ 次击中目标”, $i=1,2,\cdots ,5$,
• $B_i=$ “ 5 次射击中恰有 $i$ 次击中目怀”, $i=0,1,\cdots ,5$.

试给出下列各对事件的关系.

1. $\bigcup _{i=1}^5{A}_i$ 与 $\bigcup _{i=1}^5{B}_i$.
2. $B_0$ 与 $\bigcup _{i=1}^5{A}_i$.
3. $B_3$ 与 $A_1{A}_2{\bar{A}}_3{A}_4{\bar{A}}_5$.
4. $B_1$ 与 $B_2$.

1.5

设基本事件空间 $\Omega =\left\{{\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_{10}\right\}$,

• $A=\left\{{\omega }_1,{\omega }_3,{\omega }_5,{\omega }_6\right\}$,
• $B=\left\{{\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_4,{\omega }_5,{\omega }_6,{\omega }_8\right\}$,
• $C=\left\{{\omega }_6,{\omega }_8,{\omega }_9,{\omega }_{10}\right\}$,

求

1. $\bar{A}\cap B$
2. $B\setminus \overline{(\bar{A}\cap \bar{C})}$

1.6

化简事件:

1. $B\setminus \overline{(\bar{A}\cup \bar{B})}$.
2. $\overline{(\bar{A}\cup B)\cap (A\cup B)}$.

1.7

设盒中有 6 个白球, 4 个红球, 现从盒中任取 4 个球, 求取到两个红球两个白球的概率.

1.8

设盒中有 6 个白球, 4 个红球, 5 个黑球, 现从盒中任取 4 个球, 求取到两个红球两个白球的概率.

1.9

同时抛掷两颗均匀骰子,求事件 $A=\{$ 两颗骰子出现的点数之和为 6 $\}$ 的概率.

1.10

设盒中有 6 个白球, 4 个红球, 10 个黑球, 现不放回地从袋中把球一个一个地摸出来,求第 $k(k=1,\cdots ,20)$ 次摸到红球的概率.

1.11

从 5 双不同尺码的鞋子中任取 4 只, 4 只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少?

1.12

已知 10 个电子管中有 7 个正品和 3 个次品, 每次任意抽取 1 个来测试, 测后不放回, 直至把 3 个次品都测到为止, 求需要测 7 次的概率.

1.13

任意地取两个不大于 1 的正数,试求其乘积小于 $1/2$ 的概率.

1.14

一个质地均匀的陀螺, 在其圆周的半圈上均匀地标明刻度 1, 另外半圈上均匀地刻上区间 $\left[0,1\right]$ 上的诸数,在桌面上旋转它,求当它停下来时,圆周与桌面接触处的刻度位于区间 $\left[0.2,0.5\right]$ 内的概率.

1.15

随机地向半圆 $0<y<\sqrt{2ax-x^2}$ ( $a$ 为正常数) 内掷一点,点落在半圆内任何区或的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与 $x$ 轴的夹角小于 $\frac{\pi }{4}$ 的概率是多少?

1.16

设 $A,B,C$ 为任意三个事件,试证明: $P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).$

1.17

假设三个人的准考证混放在一起,现在将其随意地发给三个人. 试求事件 $A=\{$ 没有一个人领到自己准考证}的概率.

1.18

现从袋中抽取 5 个球,记 $A_i$ 为事件 “抽取的 5 个球中有 $i$ 个不是红球”,已知 $P(A_i)=iP(A_0),i=1,2,\cdots ,5$. 求下列各事件的概率:

1. 抽取的 5 个球均为红球.
2. 抽取的 5 个球至少有两个红球.

1.19

已知 $P(A)=0.4,P(B)=0.25,P(A\setminus B)=0.25$,求 $P(A\cup B)$ 之值.

1.20

已知 $P(A)=0.35,P(B)=0.3,P(C)=0.2,P(AB)=P(AC)=0.15,P(BC)=$ 0. 求事件 “ $A,B,C$ 全不发生” 的概率.

1.21

设事件 $A$ 与 $B$ 互不相容,且 $P(A)=p,P(B)=q$,求下列事件的概率:

• $P(A\bar{B})$,
• $P(\bar{A}\bar{B})$

1.22

设事件 $A,B,C$ 两两独立, $P(A)=P(B)=P(C)=a$, 且 $A\cap B\cap C=\varnothing$, 证明:

1. $P(A\cup B\cup C)\le \frac{3}{4}$.
2. $a\le \frac{1}{2}$.

1.23

已知 $P(\bar{B}\mid A)=\frac{1}{3},P(AB)=\frac{1}{5}$, 求 $P(A)$.

1.24

已知 $P(A)=0.7,P(B)=0.4,P(\overline{AB})=0.8$, 试求 $P(A\mid A\cup B)$ 之值.

1.25

设 $A,B$ 为两随机事件,已知 $P(A)=0.7,P(B)=0.5,P(A\cup B)=0.8$,试求 $P(A\mid \bar{A}\cup \bar{B})$ 之值.

1.26

掷两颗骰子, 在已知两颗骰子出现的点数之和为 7 的条件下, 求其中一颗出现点数

1.27

假设箱中原来只有一个球, 此球是黑球还是白球的概率均为 0.5. 现在首先将一个白球放入箱中, 然后从箱中随意取出一个球, 在取出的球是白球条件下, 试求箱中原来的球为

1.28

袋中有一个红球和一个白球, 从袋中随机摸出一球, 如果取出的球是红球, 则把此气球放回装中开且再加进一个红球, 然后从袋中再摸一个球, 如果还是红球, 则仍把此红球放回转中开且再加进一个红球, 如此继续进行, 直到摸出白球为止, 求第 9 次取出白球的概率

1.29

袋中有 3 只白球和 4 只红球, 现从中随机地取两只球, 在采用不放回地摸球方式下, 求下列各事件的概率:

1. 两只球均为白球.
2. 第 1 只球为红球而第 2 只为白球.
3. 红、白球各 1 只.

1.30

盒中装有 5 个产品, 其中 3 个一等品, 2 个二等品, 从中不放回地抽取产品, 每次取 1 个, 求

1. 取两次, 两次都取得一等品的概率.
2. 取两次, 第二次取得一等品的概率.
3. 取两次, 已知第二次取得一等品, 求第一次取得的是二等品的概率

1.31

某射击队共有 20 名射手, 其中一级射手 4 人, 二级射手 8 人, 三级射手 7 人 四级射手 1 人, 一、三、四级射手能通过预选赛进入正式比赛的概率分别为 0.9.0.7.0.5 0.2, 求任选一名射手能进入正式比赛的概率.

1.32

有 $a,b,c$ 三个盒子, $a$ 盒中有 4 个白球和 2 个黑球, $b$ 盒中有 2 个白球和 1 个黑球, $c$ 盒中有 3 个白球和 3 个黑球. 今掷一颗骰子来选定盒子,若出现 1,2,3 点则洗 $a$ 盒右出现 4 点则选 $b$ 盒,若出现 5,6 点则选 $c$ 盒. 在选出的盒中任取一球.

1. 求取出白球的概率.
2. 若取出的是白球,求此球来自 $c$ 盒的条件概率.

1.33

一袋中有 5 个红球, 5 个白球, 从袋中任意取出 1 个球, 然后放进 1 个另一颜色的球 (例如取出 1 个白球就放进 1 个红球). 如此取球, 已知第一次、第二次取出的两个球具有相同的颜色, 求它们都是白球的概率.

1.34

某超市销售某种电子灭蚊器共 10 个, 其中有 3 个次品, 7 个合格品。某顾客选购时已售出 2 个, 该顾客从剩余 8 个中任选一台, 已知该顾客购到的是合格品. 求已出售的质个中一个为次品一个为合格品的概率.

1.35

一袋中装有 $a$ 只红球, $b$ 只白球,每次从袋中任取一球,记下该球颜色后将其放回袋中,同时再放进 $c$ 只与该球同色的球,如此进行下去,记 $A_k=\{\begin{array}{l}\text{ 第 }k\text{ 次取到红球 }\end{array}$,试证明. $P(A_k)=\frac{m}{a+b}.$

1.36

一袋中装有 $a$ 只红球, $b$ 只白球, $c$ 个黑球,每次从袋中任取一球. 记下该球颜色后将其放回袋中,同时再放进 $d$ 只与该球同色的球,如此进行下去,记 $A_k=\{$ 第 $k$ 次取到红球}. 试求 $P(A_1\mid A_k)$ 之值.

1.37

某实验室在器皿中繁殖成 $k$ 个细菌的概率为 $\frac{5^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-5},k=0,1,2,\cdots$ 并设所繁殖的每个细菌为甲类菌的概率为 0.4, 为乙类菌的概率为 0.6, 求下列事件的概率: (1) 器皿中所繁殖的全部是乙类菌的概率. (2) 已知所繁殖的全部是乙类菌, 求细菌个数为 3 的概率. 1.38. 设事件 $A,B,C$ 相互独立,试证明: (1) 事件 $\bar{A},B,C$ 相互独立. (2)事件 $A$ 与 $\bar{B}\cup C$ 相互独立. 1.39 盒子中有 10 个球, 其中 4 个白球, 4 个黑球, 2 个红球. 现从盒中有放回地摸取 3 次, 每次只取一个球, 求

1. 取到的 3 个球中恰好有两个白球的概率.
2. 取到的 3 个球中至少有一个白球的概率.

1.40

做 10 次独立重复试验,每次试验中成功的概率为 $p$,试求下列事件的概率:

1. 10 次试验中恰有 3 次成功.
2. 获得第 3 次成功恰好出现在第 10 次试验.

1.41

甲、乙、丙三个射手,他们每次击中目标的概率分别为0.4,0.5,0.7. 现三人同时独立向目标射击一次, 试求至少有一人命中目标的概率.

1.42

假定具有症状 $S$ 的疾病有 $d_1,d_2,d_3$ 三种. 现从 20000 份患有疾病 $d_1,d_2,d_3$ 的病史中, 统计得到下列数据:

疾病	人数出现症状 $S$ 的人数
$d_1$	7500 8000
$d_2$	4000 5000
$d_3$	3500 7000

• 试求当一个具有症状 $S$ 的病人前来就诊时,它患有疾病 $d_1,d_2,d_3$ 的可能性各有多大?
• 若没有其他可依据的诊断手段的情况下, 诊断该病人患有这三种病中的哪一种较为合适?