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本章明确了概率论与数理统计学科的研究对象是随机现象的统计规律, 该学科被广泛应用于分析和解决各种实际问题和自然科学问题. 它与其他数学分支最大的区别是用确定性的数学研究非确定性的现象, 因而有其特殊的思维方式. 概率论与数理统计将随机现象的观测和结果归结为随机试验和随机事件, 而把结果发生的不确定性用概率来刻画, 这就是本学科研究随机现象的基本模型.
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本章中引入的事件的运算及运算法则,就如同实数的运算及运算法则, 极限的运算及运算法则等等, 对于计算概率和分析推理是至关重要的. 尤其是将一个较为复杂的事件表示为若干个互不相容事件的和, 是经常需要的或迫不得已的, 因为概率测度只有一个可用的性质: 可列可加性.
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概率的公理化定义是概率论学科发展的重要的里程碑, 它为我们分析研究随机现象提供了基本框架, 它将随机试验、随机事件和概率等三个直观概念抽象为基本事件空间 (或称样本空间),事件域 (或称事件 代数) 和概率测度 , 从而把概率论建立在严密的测度论基础之上.
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可以说, 概率论与测度论的分水岭是概率论中引入了条件概率与独立性的概念. 特别是独立性 (事件的独立性和后文介绍的随机变量的独立性). 它是初等概率论与数理统计讨论中最核心的条件, 也就说, 其中绝大部分讨论都在此条件下进行的.
4.1
利用条件概率, 我们得到两个求概率的重要公式 ——全概率公式和 贝叶斯公式. 对于这两个公式, 我们宁愿希望读者将其理解为两种概率思想而不是简单的计算公式.
4.2
独立试验模型中我们学到了一种计算概率的方法. 但这里只是一种理想化模型或假定, 因为现实中随机现象的大部分都不是独立试验. 研究非独立试验模型需要更高深的数学知识和工具.