例 2.2.6 (地下采矿逃生通道选择)

设一地下采矿面有 5 个可以升到地面的通道. 由于事故发生, 5 个通道中只有一个可以逃生, 且没有照明, 遇险者只能随意地在 5 个通道选一个出走. 若途中发现该通道不通, 则返回出险地点后再随意选一个通道出走. 试求:

1. 第三次选择通道才成功出走的概率；
2. 成功出走时已经选择 其他通道 的次数不大于 6 的概率.

解

由于每次选择都是在 5 个通道中选取, 所以各次是否选对通道相互独立, 且每次选对通道的概率为 $\frac{1}{5}$, 记 $X$ 为成功出走时已选过的通道数, 所以 $X\sim$ Geo $\left(\frac{1}{5}\right)$.

1

第三次选择通道才成功出走的概率为

$$P\left(X=3\right)={\left(\frac{4}{5}\right)}^2\cdot \frac{1}{5}=\mathrm{dgeom}\left(2,0.2\right)=0.128.$$

2

成功出走时已经选择 其他通道 的次数不大于 6 的概率为

$$P\left(X\le 6\right)=\sum _{k=1}^6{\left(\frac{4}{5}\right)}^{k-1}\cdot \frac{1}{5}=\mathrm{pgeom}\left(5,0.2\right)=0.737856.$$

Question

Why not $P\left(X-1\le 6\right)$