几何分布是离散型随机变量中唯一的具有无记忆性的概率分布

几何分布是离散型随机变量中唯一具有无记忆性的概率分布。这一结论可以通过以下两部分来证明：首先，证明几何分布具有无记忆性；其次，证明几何分布是唯一满足无记忆性条件的离散分布。

1. 几何分布的无记忆性

几何分布描述了在独立重复试验中，直到第一次成功所需的试验次数。设随机变量 $X$ 表示试验次数，成功概率为 $p$，则 $X$ 服从参数为 $p$ 的几何分布，其概率质量函数为：

$$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p,k=1,2,3,\dots$$

几何分布的无记忆性可以表述为：

$$P(X>n+m\mid X>n)=P(X>m)$$

证明

1. 条件概率公式：

$$P(X>n+m\mid X>n)=\frac{P(X>n+m)}{P(X>n)}$$

2. 计算 $P(X>k)$：

$$P(X>k)=\sum _{i=k+1}^{\infty }P(X=i)=\sum _{i=k+1}^{\infty }(1-p{)}^{i-1}p=(1-p{)}^k$$

3. 条件概率公式：

$$P(X>n+m\mid X>n)=\frac{(1-p{)}^{n+m}}{(1-p{)}^n}=(1-p{)}^m$$

这与 $$ P(X > m) = (1-p)

## **2. 几何分布是唯一满足无记忆性的离散分布** 要证明几何分布是唯一的离散型无记忆性分布，我们需要从无记忆性的定义出发，推导出几何分布的形式。 ### **2.1 无记忆性的定义** 对于离散随机变量 $X$，无记忆性的定义是：

P(X > n + m \mid X > n) = P(X > m), \quad \forall n, m \geq 0

$$这等价于：$$

\frac{P(X > n + m)}{P(X > n)} = P(X > m)

$$进一步化简为：$$

P(X > n + m) = P(X > n)P(X > m)

### **2.2 推导概率形式** 令 $$ f(n) = P(X > n), $$则上式变为：

f(n+m) = f(n)f(m)

$$这是一个满足乘法性质的函数。根据函数性质，唯一满足此性质的非负解是指数形式：$$

f(n) = C(1-p)

其中 $C > 0, 0 < p < 1$。 由于 $P(X > 0) = 1$，即 $f(0) = 1$，可得 $C = 1$。 因此：

P(X > n) = (1-p)

### **2.3 验证** 由 $$ P(X=k)=P(X>k-1)-P(X>k)=(1-p)^{k-1}p $$，可以看出，这正是几何分布的概率质量函数。因此，几何分布是唯一满足无记忆性条件的离散型随机变量[^2][^3][^5]。 ## **结论** 几何分布不仅具有无记忆性，而且是离散型随机变量中唯一具有该性质的概率分布。这种独特性源于无记忆性定义所隐含的函数形式约束。 ## 参考材料 [^1]: https://blog.csdn.net/qq_48592328/article/details/109966404 [^2]: https://en.wikipedia.org/wiki/Memorylessness [^3]: https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_distribution [^4]: https://www.cnblogs.com/sywang-0916/p/17215747.html [^5]: https://free.eol.cn/download/cer.net/kaoyan/fdzl/07smadgl02.pdf [^6]: https://math.stackexchange.com/questions/538123/proving-the-lack-of-memory-property-of-the-geometric-distribution [^7]: https://www.matongxue.com/madocs/2109/ [^8]: https://m.edu.iask.sina.com.cn/jy/hiXs8gy6Kr.html [^9]: https://cloud.kepuchina.cn/newSearch/imgText?id=7163953423513100288 [^10]: https://www.statology.org/memoryless-property/ [^11]: https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/101679630 [^12]: https://www.cs.bu.edu/fac/snyder/cs237/Lectures and Materials/Lecture 12 -- Geometric.Memoryless.ExpectedValue.pdf [^13]: https://www.zhihu.com/question/36965252 [^14]: https://www.math.wm.edu/~leemis/chart/UDR/PDFs/GeometricF.pdf [^15]: https://www.zhihu.com/question/272081683 [^16]: https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~richard/teaching/s2021/SML_Guozhang2.pdf [^17]: https://zhidao.baidu.com/question/368803641413207644.html [^18]: http://www.acted.co.uk/forums/index.php?threads%2Fgeometric-distribution-memoryless-property.3378%2F [^19]: https://www.math.pku.edu.cn/teachers/lidf/course/stochproc/stochprocnotes/html/_book/renewal.html [^20]: https://www.douban.com/note/175837882/ [^21]: https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/124027982 [^22]: https://www.zhihu.com/question/558773844/answer/2714654290 [^23]: https://www.math.pku.edu.cn/teachers/dayue/Homepage/S3.1-2.pptx [^24]: http://staff.ustc.edu.cn/~cyu/teach/Prob-Stat/probstat.pdf [^25]: https://www.math.pku.edu.cn/teachers/dayue/Homepage/instruction.htm [^26]: https://www.cnblogs.com/algoshimo/p/17783185.html [^27]: https://baike.baidu.com/item/无记忆性/59963523 [^28]: https://www.youtube.com/watch?v=KbQaPd2io_k [^29]: https://www.cnblogs.com/BlairGrowing/p/15363005.html