1
本章引进随机变量的理由有两个, 一是想借助微积分学等其他数学工具来做概率的分析计算, 二是大量随机试验的结果本身就是在某度量单位下的数值即使事件 实际上不是数, 也可以通过定义随机变量 , 使 . 这样一来, 求事件的概率的问题就转化为求随机变量分布的问题. 因此可以说概率论是研究随机变量 (或一般地, 随机向量及随机过程) 分布的科学.
将一个基本事件空间 到实数集的映射 (满足可测性条件 (2.1.1)) 称为随机变量, 一是因为历史的渊源, 二是因为该映射的取值确实是随机变化的. 即随看试验结果的不同而不同, 无法预知.
2
我们不一般性地研究随机变量的分布, 这一方面是因为一般性地研究需要较高深的数学知识 (特别是测度论知识), 另一方面是因为实际应用中遇到的随机变量就只有离散型和连续型两种, 所以我们在研究随机变量的分布 (以及后文介绍数字特征等) 时, 都按离散型和连续型来分别讨论.
对于离散型随机变量只要知道它的分布列, 它的概率分布 (通常称为统计特性) 就完全知道了 (参见 (2.2.2)). 对于连续型随机变量只要知道它的分布密度函数, 它的统计特性也就完全知道了 (参见 (2.3.4)). 连续型随机变量的一个特殊性质是它取任何单点值的概率为 0, 离散型随机变量则不然.
3
对于离散型和连续型随机变量, 我们都给出了几种重要的例子, 它们都是实际应用中比较常见的概率模型, 读者应当熟悉它们的特性和应用背景. 比如几何分布和指数分布具有无记忆性, 而正态分布则具有广泛的应用 (它的分布特性将在后文中陆续见到).
4
应当说, 求随机变量函数的分布是概率论与数理统计中无法避免的、永久性的任务, 决不止如本章 2.4 节介绍的这样简单, 这一点读者将在数理统计部分的抽样分布 (6.3 节) 中会有所体会.
5
本章例题中我们已引用 软件的一些内部函数, 如 pbionm、dbinom 和 qbinom 等, 请读者通过自修第九章逐步熟悉和体会 软件的有关内部函数和语句的功能, 以方便计算.