常见离散型随机变量

特征	伯努利分布 (Bernoulli) (0-1 分布)	二项分布 (Binomial) $B(n,p)$	泊松分布 (Poisson) $Pois(\lambda )$
描述/背景	描述只有两种结果（如成功/失败）的单次试验结果	描述 $n$ 次独立重复伯努利试验中成功的次数 [基于对话历史和源材料对二项分布的上下文使用，如 56, 70]	一个重要的离散型分布例子，常用于近似二项分布 [对话历史]，也出现在其他例子中，如描述单位时间/空间内事件发生次数 [基于对 65, 70, 88 的解读]
参数	$p$ (单次试验成功的概率) [基于 4 中的定义及二项分布 n=1 的情况]	$n$ (试验次数), $p$ (单次试验成功的概率)	$\lambda$ (泊松分布的参数 $\lambda$ 在源材料中多次出现，例如在参数估计和假设检验中)
取值	通常取 0 或 1	取值为 $0,1,\cdots ,n$ 的整数 [基于描述]	取值为 $0,1,2,\cdots$ 的非负整数 [基于描述和例子如 65, 88]
概率描述	通过概率分布列 $P(X=k)$ [基于离散型随机变量定义和 27]	通过概率分布列 $P(X=k)$ (虽然具体公式 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$ 未在提供的章节片段中直接给出，但提及了 $pbinom$ 等软件函数用于计算概率 [对话历史])	通过概率分布列 $P(X=k)$ (虽然具体公式 $\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$ 未在提供的章节片段中直接给出，但提及了泊松分布的概率分布列)
分布函数	$F(x)=P(X\le x)$	$F(x)=P(X\le x)$ (提及了 $pbinom$ 函数 [对话历史])	$F(x)=P(X\le x)$
数学期望 ($E[X]$)	$p$ [由源材料定义 4.1.1 应用于 4 中定义的 0-1 变量得出 $E[X]=0\cdot P(X=0)+1\cdot P(X=1)=p$]	$np$ [可由伯努利随机变量期望的加和得出，与源材料对均值性质的讨论一致]	$\lambda$ [源材料在讨论参数估计的无偏性、相合性以及指数分布族时，其使用方式（如 $2\bar{X}+5$ 估计 $2\theta +5$）暗示泊松分布的期望为其参数 $\lambda$，且泊松分布被明确列为指数分布族成员，其MLE是UMVUE，而样本均值是总体均值的常用估计量]
方差 ($Var[X]$)	$p(1-p)$ [由源材料定义 4.1.3 应用于 4 中定义的 0-1 变量得出 $Var[X]=E[(X-E[X]{)}^2]=(0-p{)}^2(1-p)+(1-p{)}^{2}p=p(1-p)$]	$np(1-p)$ [可由独立伯努利随机变量方差的加和得出，与源材料对方差性质的讨论一致]	$\lambda$ [源材料在讨论参数估计的无偏性、相合性以及指数分布族时，其使用方式暗示泊松分布的方差为其参数 $\lambda$，且泊松分布被明确列为指数分布族成员，其MLE是UMVUE，样本方差是总体方差的常用估计量]
关键特性/联系	是二项分布 ($n=1$) 的基础 [基于定义和上下文]。	当 $n$ 很大且 $p$ 很小时，可近似为泊松分布 [对话历史]。当 $n$ 很大时，可近似为正态分布 (棣莫弗-拉普拉斯定理) [对话历史]。	常用于近似二项分布 [对话历史, 56]。属于指数分布族。

基于源材料的异同点总结：

• 共同点:

  • 它们都属于离散型随机变量，其取值是有限或可数无限个数值。
  • 都可以通过概率分布列 $P(X=k)$ 来描述其概率规律 [基于离散型随机变量定义]。
  • 都可以通过分布函数 $F(x)=P(X\le x)$ 来描述累积概率。
  • 都具有数字特征，如数学期望 ($E[X]$) (又称均值) 和方差 ($Var[X]$) (或标准差)，这些特征刻画了随机变量取值的平均值和分散程度。源材料讨论了这些数字特征的定义 [定义 4.1.1, 定义 4.1.3] 和计算方法。
  • 在源材料的例子和习题中，它们被用于参数估计和假设检验的背景下，常常涉及样本均值和方差等统计量 [如 65, 70, 88]。泊松分布和二项分布被列为指数分布族成员。

• 不同点:

  • 建模的随机现象不同: 伯努利分布是单次试验结果；二项分布是固定次数独立重复试验中的成功次数；泊松分布常作为二项分布的近似 [对话历史] 或描述单位间隔内事件发生次数的例子 [基于对 65, 70, 88 的解读]。
  • 取值范围不同: 伯努利取 0/1；二项分布取 $0$ 到 $n$ 的整数；泊松分布取所有非负整数。
  • 参数不同: 每种分布都有其特定的参数（$p$, $n$ 和 $p$, $\lambda$）来刻画其概率分布。
  • 相互联系和近似: 伯努利是二项分布的基础；二项分布在特定条件下可近似为泊松分布 [对话历史, 56]。