第二章 复习笔记

本章重点讨论了随机变量的概念，以及如何描述随机变量的取值规律，即其分布。

核心概念

• 随机变量 (Random Variable)

  • 定义 2.1.1：一个将随机试验结果 (基本事件 $\omega$) 映射到实数 ($\mathbf{R}$) 的函数 $X:\Omega \to \mathbf{R}$.
  • 关键条件：对于任意实数 $x$，使得 $X(\omega )\le x$ 的基本事件 $\omega$ 构成的集合 $\{\omega \mid X(\omega )\le x\}$ 必须是一个事件，即属于事件域 $\mathcal{F}$。
  • 意义：这个条件确保了概率 $P(X\le x)$ 对于所有 $x$ 都是有明确定义的。它将随机试验的结果数值化，并与概率测度联系起来。
  • 直观理解：在试验前无法确定其具体取值的量，其取值由随机试验的结果决定。

• 分布函数 (Distribution Function)

  • (在提供的 Chapter 2 节选中未给出显式定义，但在定义随机变量时提到了其重要性，并在定义连续型随机变量时作为基础)。它是描述随机变量概率分布的通用方法。对于随机变量 $X$，其分布函数定义为 $F_X(x)=P(X\le x)$。
  • 分布函数完整刻画了随机变量的统计特性。

• 随机变量的类型

  • 离散型随机变量 (Discrete Random Variable)：只取有限个或可数无限个不同的值 [26 (针对随机向量，但概念通用)]。
    • 通过概率分布列 (Probability Mass Function, PMF) 来描述其分布：列出所有可能的取值 $x_i$ 及其对应的概率 $P(X=x_i)=p_i$。需满足 $p_i\ge 0$ 且 $\sum p_i=1$。
  • 连续型随机变量 (Continuous Random Variable)：如果存在一个非负函数 $f_X(x)$，使得其分布函数 $F_X(x)$ 可以表示为 $F_X(x)={\int }_{-\infty }^x{f}_X(t)\mathrm{d}t$。
    • 通过分布密度函数 (Probability Density Function, PDF) $f_X(x)$ 来描述其分布。
    • PDF 的性质：
      • $f_X(x)\ge 0$ 对于所有 $x\in (-\infty ,\infty )$ 成立。
      • ${\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_X(x)\mathrm{d}x=1$ (由 $F_X(\infty )=1$ 和定义推导)。
      • 对于任意区间 $(a,b]$，概率 $P(a<X\le b)=F_X(b)-F_X(a)={\int }_a^b{f}_X(x)\mathrm{d}x$ (由定义推导)。
      • 在 $f_X(x)$ 的连续点处，$f_X(x)=F_X^{\prime }(x)$。

• 重要的特殊分布

  • 泊松分布 (Poisson Distribution)：常用于描述在一定时间或空间内稀有事件发生的次数。
    • 参数为 $\lambda >0$。
    • 当二项分布 $B(n,p)$ 的 $n$ 很大且 $p$ 很小时，泊松分布是其近似，参数 $\lambda \approx np$。
    • 例：一段时间内查号台收到的呼唤次数、一段时间内放射性物质分裂落到某区域的质点数。
  • 指数分布 (Exponential Distribution)：常用于描述稀有事件发生的时间间隔或某种元件的寿命。
    • 参数为 $\lambda >0$。
    • 密度函数：$f_X(x)=\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x}$ ($x>0$)，其他区域为 0。
    • 分布函数：$F_X(x)=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda x}$ ($x>0$)，其他区域为 0。

常见难点

• 理解随机变量的定义：它是一个函数，不是一个简单的变量。理解定义中 $\{\omega \mid X(\omega )\le x\}\in \mathcal{F}$ 条件的意义，它保证了概率的可计算性。
• 区分离散型和连续型随机变量的描述方式：离散型用概率分布列 (PMF)，连续型用概率密度函数 (PDF)。理解 PMF 是概率，而 PDF 是概率密度，本身不是概率值（单个点概率为 0），概率是 PDF 曲线下的面积。
• 掌握分布函数 $F_X(x)$ 的性质及其与 PMF 或 PDF 之间的关系（求和/积分，差分/求导）。
• 理解和应用特定分布（如泊松分布和指数分布）的典型场景和计算方法。