第二章习题

2.1.

某酒吧柜台前有吧凳 7 张, 此时全空着, 若有两个陌生人进来随机入座, 试求这两人就座相隔凳子数 $X$ 的分布列.

2.2.

某射手有 5 发子弹, 射击一次命中的概率为 0.75, 如果命中了就停止射击, 否则就一直射到子弹用尽. 试求耗用子弹数 $X$ 的分布列.

2.3.

设某批电子管的合格率为 $3/4$, 现对该批电子管进行有放回地测试, 设第 $X$ 次为首次测到合格品所抽取的次数, 求 $X$ 的分布列.

2.4.

一个质地均匀的陀螺, 在其圆周的半圈上均匀地标明刻度 1, 另外半圈上均匀地刻上区间 $\left[0,1\right]$ 上诸数, 在桌面上旋转它, 求当它停下来时, 圆周与桌面接触处的刻度 $X$ 的分布函数.

2.5.

设随机变量 $X$ 的分布函数为

$$F\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}0,& x\le -1\\ ax+b,& -1<x\le 2\\ 1,& x>2\end{array}$$

试求 (1) 常数 $a,b$. (2) $X$ 落在(-0.5, 1.5)内的概率.

2.6.

设随机变量 $X$ 的分布函数为

$$F\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}1-\exp {\left(-\left(\frac{x-2}{a}\right)\right)}^3,& x\ge 2,\\ 0,& x<2,\end{array}$$

其中 $a>0$. 试计算 $P\left(-1\le X\le 2\left(a+1\right)\right)$ 之值.

2.7.

设随机变量 $X$ 服从泊松分布 $\mathrm{Pois}\left(\lambda \right)$, 随机变量 $Y$ 服从泊松分布 $\mathrm{Pois}\left(\lambda +1\right)$, 且 $P\left(X=3\right)=\frac{4}{3}{\mathrm{e}}^{-2}$, 试求 $P\left(Y=3\right)$ 之值.

2.8.

设离散型随机变量 $X$ 的分布列为

$X$	1	2	3
$P$	0.2	0.3	0.5

试求 $X$ 的分布函数.

2.9.

设离散型随机变量 $X$ 的分布函数

$$F\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}0,& x<-1\\ 0.5,& -1\le x<1\\ 0.8,& 1\le x<3\\ 1,& x\ge 3\end{array}$$

试求 $X$ 的分布列.

2.10.

某种产品每批中合格品率为 0.9, 验收每批时规定: 先从中抽取一件, 若是个故日拒收的概率.

2.11.

自动生产线调整以后出现不合格品的概率为 0.1, 当生产过程中出现不合格品时立即里莉进行调整, 求在两次调整之间所生产的合格品数 $X$ 的分布列.

2.12.

设连续型随机变量 $X$ 的分布密度函数为

$$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3},& 0\le x\le 1,\\ \frac{2}{9},& 3\le x\le 6,\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

试求 $X$ 的分布函数.

2.13.

设随机变量 $X$ 的分布密度函数为 $f\left(x\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-|x|},-\infty <x<+\infty$. 试求:

(2) $X$ 落在(-5, 5)内的概率.

2.14.

设连续型随机变量 $X$ 的分布函数为

$$F\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0,\\ A{x}^2,& 0\le x<2,\\ 1,& x\ge 2.\end{array}$$

求: (1) 系数 $A$. (2) $X$ 的密度函数 $f\left(x\right)$. (3) $P\left(1.3\le X\le 1.7\right)$.

2.15.

设随机变量 $X$ 的密度函数为

$$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2},& 0<x<2,\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

现对 $X$ 进行 4 次独立重复观测, 以 $V_4$ 表示观测值不大于 0.2 的次数, 试求概率 $P\left(V_4=2\right)$.

2.16.

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 同分布, 且 $X$ 的分布密度函数为

$$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}3x^2,& 0\le x\le 1,\\ 0,& \text{ 其他, }\end{array}$$

日事件 $A=\{X>0.5\}$ 与事件 $B=\{Y>0.5\}$ 独立, 求: (1) $P\left(A\right)$. (2) $P\left(A\cup B\right)$.

2.17.

一白糖供应站的月销售量 $X$ (百吨) 是随机变量, 其分布密度函数为

$$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}2x,& 0<x<1,\\ 0,& \text{ 否则. }\end{array}$$

问每月至少储存多少白糖, 才能以 96% 的概率不脱销?

2.18.

设随机变量 $X\sim N\left(-6,9\right)$, 利用标准正态分布函数表或 $\mathrm{R}$ 软件计算下面的概率:

(1) $P\left(X>0\right)$. (2) $P\left(-6<X<3\right)$. (3) $P\left(\left|X\right|<9\right)$.

2.19.

设随机变量 $X$ 的分布列为

$X$	$-1$	$0$	$1$	$3$
$P$	0.2	0.3	0.1	0.4

试求:

1. $Y=3X+5$ 的分布列.
2. $Z=X^2+5$ 的分布列.

2.20.

设随机变量 $X\sim B\left(3,0.1\right)$, 令 $Y=2^X+1$, 试求 $Y$ 的分布列.

2.21.

设随机变量 $X$ 服从 $\left[0,2\right]$ 上的均匀分布, 求随机变量 $Y=X^2+1$ 的分布函数可为布密度函数.