离散随机变量

对于二维离散型随机向量的情形, 设 $(X,Y)$ 的分布列为

$$P\left(X=x_i,Y=y_j\right)=p_{ij},i,j=1,2,\cdots .$$

则 $Z=X+Y$ 的分布列为

$$P\left(Z=z_k\right)=\sum _{x_i+y_j=z_k}{p}_{ij},k=1,2,\cdots .\text{\hspace{1em}(3.4.1)}$$

特别地, 若 $(X,Y)$ 的分布列为

$$P\left(X=i,Y=j\right)=p_{ij},i,j=0,1,2,\cdots .$$

则 $Z=X+Y$ 的分布列为

$$P\left(Z=k\right)=\sum _{i=0}^{k}P\left(X=i,Y=k-i\right)=\sum _{i=0}^k{p}_{i\left(k-i\right)},k=0,1,2,\cdots .\text{\hspace{1em}(3.4.2)}$$

若还有 $X$ 与 $Y$ 独立,则

$$P\left(Z=k\right)=\sum _{i=0}^{k}P\left(X=i\right)P\left(Y=k-i\right)=p_i\cdot p_{\cdot \left(k-i\right)},k=0,1,2,\cdots .\text{\hspace{1em}(3.4.3)}$$

表 3.1 二维离散型随机向量的分布列

$Y$ $X$	$y_1$	$y_2$	…	$y_j$	…	$p_{i\cdot }$
$x_1$	$p_{11}$	$p_{12}$	…	$p_{1j}$	…	$p_1\cdot =\sum _j{p}_{1j}$
$x_2$	$p_{21}$	$p_{22}$	…	$p_{2j}$	…	$p_2\cdot =\sum _j{p}_{2j}$
$⋮$	$p_{i1}$	$p_{i2}$	…	$p_{ij}$	…	$p_{i\cdot }=\sum _j{p}_{ij}$
$⋮$	$⋮$	$⋮$		$⋮$		$⋮$
$p_{\cdot j}$	$\sum _i{p}_{i1}$	$\sum _i{p}_{i2}$	…	$\sum _i{p}_{ij}$	…	1

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