第三章习题

3.1.

袋中分别装有红、白、黑颜色的球分别为 5 个、 3 个与 2 个, 现从袋中无放回抽取 3 个球,以 $X,Y$ 分别表示取出的 3 球中红球和白球的个数,求(X, Y)的联合概率分布.

3.2.

设(X, Y)的分布密度函数为

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}Axy,& 0<x<1,0<y<1,\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

求 (1) 常数 $A$. (2) $P\left(X<0.4,Y<1.3\right)$.

3.3.

设二维随机变量(X, Y)的联合概率分布列为

$Y$ $X$	1	2	3
1	0.01	0.03	0.06
2	0.02	0.06	0.12
3	0.07	0.21	0.42

求 $P\left(X\le Y\right)$ 之值.

3.4.

已知 $X,Y$ 同分布,且 $X$ 的分布列为

$$P\left(X=-1\right)=P\left(X=1\right)=\frac{1}{4},P\left(X=0\right)=\frac{1}{2}$$

又知 $P\left(XY=0\right)=1$,试求(X, Y)的联合概率分布列.

3.5.

设(X, Y)的分布密度函数为

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}12{\mathrm{e}}^{-ax-4y},& x>0,y>0\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

试求 (1) 常数 $a$. (2)(X, Y)的联合分布函数.

3.6.

设二维随机变量(X, Y)的联合概率分布列为

$Y$ $X$	-1	0	2
-1	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$
0	$\frac{1}{8}$	0	$\frac{1}{8}$
1	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$

求关于 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布列.

3.7.

设二维连续型随机变量(X, Y)的分布密度函数为

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{16}xy,& 0\le x\le 2,0<y\le x^2,\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

求关于 $X$ 和 $Y$ 的边缘密度函数.

3.8.

(1) 设随机向量(X, Y)的分布密度函数为

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}9x^2{y}^2,& 0<x<1,0<y<1,\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

试判断 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立.

(2)设随机向量(X, Y)的分布密度函数为

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}x+y,& 0<x<1,0<y<1,\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

试问 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立?

3.9.

设随机向量(X, Y)的概率分布列为

$Y$ $X$	$y_1$	$y_2$	$y_3$
$x_1$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{9}$	$\alpha$
$x_2$	$\frac{1}{3}$	$\beta$	$\frac{1}{9}$

问 $\alpha ,\beta$ 取何值才能使 $X$ 与 $Y$ 相互独立?

3.10.

设二维随机变量(X, Y)的联合概率分布为

$Y$ $X$	0	1
0	$\frac{8}{25}$	$\frac{7}{25}$
1	$\frac{6}{25}$	$\frac{4}{25}$

试求

(1) 给定 $X=1$ 的条件下, $Y$ 的条件分布列.

(2) 给定 $X=1$ 的条件下, $Y$ 的条件分布函数.

3.11.

设(X, Y)的分布密度函数为

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}12y^2,& 0<y<x<1,\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

求给定 $X=x$ 的条件下, $Y$ 的条件密度函数 $f_{Y\mid X}\left(y\mid x\right)$.

3.12.

设随机变量 $X$ 在(0, a)上随机地取值,服从均匀分布,当观察到 $X=x\left(0<x<a\right)$ 时, $Y$ 在区间(x, a)内任一子区间上取值的概率与子区间的长度成正比,求:

(1)(X, Y)的联合密度函数 $f\left(x,y\right)$.

(2) $Y$ 的分布密度函数 $f_Y\left(y\right)$.

3.13.

设二维随机变量(X, Y)的联合密度函数

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}6x,& 0<x<y<1,\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

试求:

(1) 当 $X=1/3$ 时, $Y$ 的条件密度函数 $f_{Y\mid X}\left(y\mid x=1/3\right)$.

(2) $P\left(X+Y\le 1\right)$.

3.14.

设随机向量(X, Y)的分布密度函数为

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}1,& \left|y\right|<x,0<x<1,\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

试

(1) 求关于 $X$ 和 $Y$ 的边缘密度函数 $f_X\left(x\right),f_Y\left(y\right)$.

(2) 求给定 $Y=y$ 的条件下, $X$ 的条件密度函数 $f_{X\mid Y}\left(x\mid y\right)$.

(3) 判断 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立.

3.15.

设(X, Y)的概率分布为

$Y$ $X$	0	1	2
0	$1/9$	$2/9$	$1/9$
1	$2/9$	$2/9$	0
2	$1/9$	0	0

求 $2X+Y$ 的分布列.

3.16.

设随机变量 $U$ 与 $V$ 独立同分布,且 $P\{U=k\}=\frac{1}{3},k=1,2,3$. 又设 $X=$ $\max \left(U,V\right),Y=\min \left(U,V\right)$. 试写出(X, Y)的联合概率分布.

3.17.

设随机变量 $X$ 服从 $\left[-1,1\right]$ 上的均匀分布, $Y$ 服从参数为 $\lambda =1$ 的指数分布,且 $X$ 与 $Y$ 独立. 求 $X+Y$ 的分布密度函数.

3.18.

设 $f_1\left(x,y\right)$ 为二维正态分布 $N\left(-3,2,4,9,0.5\right)$ 的密度函数, $f_2\left(x,y\right)$ 为二维正态分布 $N\left(8,2,1,6,-0.3\right)$ 的密度函数,(1) 证明 $g\left(x,y\right)=0.4f_1\left(x,y\right)+0.6f_2\left(x,y\right)$ 为分布密度函数. (2) 求 $g\left(x,y\right)$ 所对应的两个边缘密度函数.

3.19.

设随机变量 $X$ 服从 $\left[0,1\right]$ 上的均匀分布, $Y$ 服从参数为 $\lambda =1$ 的指数分布,且 $X$ 与 $Y$ 独立. 求 $Z=\min \{X,Y\}$ 的分布函数与分布密度函数.

3.20.

设随机变量 $X,Y$ 独立同分布,且均服从指数分布 $\mathrm{Exp}\left(2\right)$,求随机变量 $2X+3Y$ 的分布密度函数.