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在大量随机现象中, 一次试验的结果用一个量无法完整记录. 从而必须 9 多个量来记,这就必须研究多维随机变量 (统称为随机向量).
在数理统计中,样本就是一个 维随机向量,并且假定分量间相互独立. 所以本章先一般性地介绍了随机向量的联合分布和边缘分布, 以及随机变量的独立性. 由于高维随机向量的刻画或分析方法, 与二维随机向量的刻画或分析方法苗同, 因此, 我们只详细讨论二维随机向量. 并且实际应用中遇到的随机向量只有离散型和连续型两类, 因此, 我们比较详细地讨论了这两类随机向量.
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二维随机变量与一维随机变量在分布特性的刻画方面有本质不同, 由二维联合分布可以完全确定各分量的边缘分布, 反之则不然 (除非两个分量相互独立). 正因为如此, 后文数理统计中都假定样本为 “简单随机样本”. 即样本各分重同相互独立.
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与一维随机变量分布的刻画类似, 对于二维离散型随机向量只要知道它的联合分布列, 它的统计特性就完全确定了 (参见 (3.2.2)). 对于二维连续型随机同量只要知道它的分布密度函数, 它的统计特性也就完全知晓了 (参见 (3.3.2)) 一维连续型随机向量的一个特殊性质是它取任何单点值 (或取值落入维数低于同量维数的任何区域内) 的概率为 0, 二维离散型随机变量则不然.
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当随机变量 与 相互独立时, 的联合分布由 和 的边缘分布完全确定 (参见 (3.1.7) 和 (3.1.9)), 并且由条件分布的定义可知, 此时条件分布与各自的边缘分布相同. 如果随机变量 与 不相互独立, 则无法由 和 的边缘分布确定 的联合分布,此时条件分布就显得尤为重要. 尽管初等概率论中, 大多都讨论随机变量相互独立的情形, 但我们这里也简单介绍了各件分布的概念.
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正如第二章小结中所述, 寻求随机变量函数的分布是概率论与数理统计中无法避免的、永久性的任务, 对于随机向量更是如此, 这一点读者将在数理统计部分中逐渐体会到. 本章只做了简单讨论.