性质 3 (独立随机变脸的期望)

性质 3 (独立随机变量的期望)

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且 $X$ 和 $Y$ 的数学期望存在, 则

$$E\left[XY\right]=E\left[X\right]\cdot E\left[Y\right].\text{\hspace{1em}(4.2.9)}$$

证明

不失一般性, 只就连续型随机变量的情形加以证明. 设 $(X,Y)$ 的联合分布密度为 $f_{X,Y}$, $X$ 与 $Y$ 的分布密度函数分别为 $f_X$ 和 $f_Y$. 由 $X$ 与 $Y$ 相互独立知

$$f_{X,Y}\left(x,y\right)=f_X\left(x\right)\cdot f_Y\left(y\right),$$

从而

$$\begin{array}{rl}E\left[XY\right]& ={\int }_{{\mathbf{R}}^2}xy{f}_{X,Y}\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{{\mathbf{R}}^2}xy{f}_X\left(x\right)\cdot f_Y\left(y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =\left({\int }_{-\infty }^{\infty }x{f}_X\left(x\right)\mathrm{d}x\right)\cdot \left({\int }_{-\infty }^{\infty }y{f}_Y\left(y\right)\mathrm{d}y\right)\\ & =E\left[X\right]\cdot E\left[Y\right].\end{array}$$

由 (4.2.7) 可知, 性质 3 中的独立性条件可弱化为 $X$ 与 $Y$ 不相关.