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我们知道, 对于随机变量 (包括一维和多维), 只要知道了分布函数 (或联合分布函数, 离散型的概率分布和连续型的分布密度函数), 它的统计特性就完全知晓了. 但现实问题中, 随机变量的分布难以求得, 想把握随机变量取值的某一方面的特征, 往往用一个数字来记这就是的随机变量的 “数字特征”.
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对于单个随机变量,主要的数字特征是数学期望 (又称均值) 和方差 (或标准差), 它们分别刻画随机变量取值的平均值和分散程度 (或称波动性). 在数理统计 (或较深的课程随机过程论) 中它们往往是以参数的形式出现的, 但我们也希望知道它们. 峰度和偏度等数字特征在实际问题的刻画中也时常用到.
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对于随机向量, 主要的数字特征是两个随机变量间的协方差 (或相关系数), 它刻画两个随机变量之间的线性关系的紧密程度. 正如, 我们所强调的, 它仅仅反映二者的线性相关的程度, 而不反映非线性相关的程度.
至于随机向量的期望自然地定义为各分量期望构成的数值向量, 方差则指协方差矩阵.
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讨论期望 (算子) 和方差 (算子) 的运算性质, 可以为计算较为复杂的随机变量的期望和方差带来方便. 这里称二者为算子, 是因为期望和方差都把一个随机变量与一个数对应起来.
需要强调指出的是:
(4.1) 期望具有线性性 (参见 (4.2.8)).
(4.2) 协方差具有双线性性 (参见 (4.2.12) 及 (4.2.13)).
(4.3) 当 与 不相关 (或更强: 相互独立) 时,期望具有乘积性质 (参见 (4.2.9)), 方差具有可加性 (参见 (4.2.10)).
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条件数学期望是研究相依 (不独立) 随机变量的重要工具之一, 我们这里只就离散型和连续型随机变量的情形作了简单介绍. 对于一般随机变量的情形, 条件数学期望的定义需要更为高深的数学知识 (特别是测度论知识), 才能解释清楚.