4.23. 解答

(1) 该答题者答对题数的数学期望

思路：

首先计算答对任意一题的总概率，然后利用几何分布的性质求解答错前答对的总题数的期望。

计算步骤：

1. 定义事件：
   • 设事件 $A$ 为选择 A 类题，$P(A)=0.5$。
   • 设事件 $B$ 为选择 B 类题，$P(B)=0.5$。
   • 设事件 $C_A$ 为答对 A 类题，$P(C_A|A)=0.4$。
   • 设事件 $C_B$ 为答对 B 类题，$P(C_B|B)=0.6$。
   • 设事件 $C$ 为答对当前题目。

(1) 该答题者答对题数的数学期望

思路：

首先计算答对任意一题的总概率 $p$，然后利用几何分布的性质求解答错前答对的总题数 $N$ 的期望 $E[N]$。

计算步骤：

1. 定义事件：

   • 设事件 $A$ 为选择 A 类题，$P(A)=0.5$。
   • 设事件 $B$ 为选择 B 类题，$P(B)=0.5$。
   • 设事件 $C_A$ 为答对 A 类题，$P(C_A|A)=0.4$。
   • 设事件 $C_B$ 为答对 B 类题，$P(C_B|B)=0.6$。
   • 设事件 $C$ 为答对当前题目。

2. 计算答对任意一题的概率 $p$： 根据全概率公式：

   $$p=P(C)=P(C|A)P(A)+P(C|B)P(B)$$ $$p=(0.4\times 0.5)+(0.6\times 0.5)=0.2+0.3=0.5$$

3. 计算答错任意一题的概率 $q$：

   $$q=P(\text{答错})=1-p=1-0.5=0.5$$

4. 确定随机变量及其分布： 设 $N$ 为答题者连续答对的题数。每次回答可以看作一次伯努利试验，成功（答对）的概率为 $p=0.5$。答题者在第一次答错时停止。$N$ 服从参数为 $p=0.5$ 的几何分布（这里指成功次数的几何分布，即失败前成功的次数）。

   • 注：更常见的定义是设 $K$ 为直到第一次答错为止的总答题次数，$K$ 服从参数为 $q=0.5$ 的几何分布，$P(K=k)=p^{k-1}q,k=1,2,...$。此时，答对的题数 $N=K-1$。

5. 计算答对题数的数学期望 $E[N]$： 对于失败前成功次数的几何分布，其期望为：

   $$E[N]=\frac{p}{q}=\frac{0.5}{0.5}=1$$

   或者，如果使用总次数 $K$ 的几何分布，其期望为 $E[K]=\frac{1}{q}=\frac{1}{0.5}=2$。则答对的题数 $N=K-1$ 的期望为：

   $$E[N]=E[K-1]=E[K]-1=2-1=1$$

结论： 该答题者答对题数的数学期望为 1 题。

(2) 该答题者得到奖励金额的数学期望

思路：

设 $E_{reward}$ 为总奖励金额的期望。利用全期望公式，考虑第一次答题的四种情况及其对应的期望收益，建立关于 $E_{reward}$ 的递推关系并求解。

计算步骤：

1. 设期望值： 令 $E_{reward}$ 为答题者得到的总奖励金额的数学期望。

2. 应用全期望公式（或条件期望）： 考虑第一次答题的情况，将 $E_{reward}$ 分解为基于第一次选择题目类型和答题结果的条件期望：

   $$E_{reward}=E[\text{奖励}|\text{选 A}]P(A)+E[\text{奖励}|\text{选 B}]P(B)$$

   其中：

   • $E[\text{奖励}|\text{选 A}]=P(\text{对}|A)\times ({\text{奖励}}_A+\text{后续期望})+P(\text{错}|A)\times 0$
   • $E[\text{奖励}|\text{选 B}]=P(\text{对}|B)\times ({\text{奖励}}_B+\text{后续期望})+P(\text{错}|B)\times 0$

3. 建立方程： 如果答题者答对，他/她获得当前题目的奖励（A 类 1000 元，B 类 500 元），并继续答题，此时面临的局面与开始时相同，因此后续

4. 计算答错任意一题的概率 $q$:

   $$q=P(\text{答错})=1-p=1-0.5=0.5$$

5. 确定随机变量及其分布： 设 $N$ 为答题者连续答对的题数。每次回答可以看作一次伯努利试验，成功（答对）的概率为 $p=0.5$。答题者在第一次答错时停止。$N$ 服从参数为 $p=0.5$ 的几何分布（这里指成功次数的几何分布，即失败前成功的次数）。

   • 注：更常见的定义是设 $K$ 为直到第一次答错为止的总答题次数，$K$ 服从参数为 $q=0.5$ 的几何分布，$P(K=k)=p^{k-1}q,k=1,2,...$。此时，答对的题数 $N=K-1$。

6. 计算答对题数的数学期望 $E[N]$： 对于失败前成功次数的几何分布，其期望为：

   $$E[N]=\frac{p}{q}=\frac{0.5}{0.5}=1$$

   或者，如果使用总次数 $K$ 的几何分布，其期望为 $E[K]=\frac{1}{q}=\frac{1}{0.5}=2$。则答对的题数 $N=K-1$ 的期望为：

   $$E[N]=E[K-1]=E[K]-1=2-1=1$$

结论： 该答题者答对题数的数学期望为 1 题。

(2) 该答题者得到奖励金额的数学期望

思路：

设 $E_{reward}$ 为总奖励金额的期望。利用全期望公式，考虑第一次答题的四种情况及其对应的期望收益，建立关于 $E_{reward}$ 的递推关系并求解。

计算步骤：

1. 设期望值： 令 $E_{reward}$ 为答题者得到的总奖励金额的数学期望。

2. 应用全期望公式（或条件期望）： 考虑第一次答题的情况，将 $E_{reward}$ 分解为基于第一次选择题目类型和答题结果的条件期望：

   $$E_{reward}=E[\text{奖励}|\text{选 A}]P(\text{选 A})+E[\text{奖励}|\text{选 B}]P(\text{选 B})$$

   其中：

   • $E[\text{奖励}|\text{选 A}]=P(\text{对}|A)\times ({\text{奖励}}_A+\text{后续期望})+P(\text{错}|A)\times 0$
   • $E[\text{奖励}|\text{选 B}]=P(\text{对}|B)\times ({\text{奖励}}_B+\text{后续期望})+P(\text{错}|B)\times 0$

3. 建立方程： 如果答题者答对，他/她获得当前题目的奖励，并继续答题，此时面临的局面与开始时相同，因此后续期望得到的奖励仍然是 $E_{reward}$。如果答错，则获得 0 奖励并退出。

   $$E_{reward}=0.5\times [0.4\times (1000+E_{reward})+0.6\times 0]+0.5\times [0.6\times (500+E_{reward})+0.4\times 0]$$

4. 展开并简化方程：

   $$E_{reward}=0.5\times (400+0.4E_{reward})+0.5\times (300+0.6E_{reward})$$ $$E_{reward}=(200+0.2E_{reward})+(150+0.3E_{reward})$$ $$E_{reward}=350+0.5E_{reward}$$

5. 求解 $E_{reward}$：

   $$E_{reward}-0.5E_{reward}=350$$ $$0.5E_{reward}=350$$ $$E_{reward}=\frac{350}{0.5}=700$$

结论： 该答题者得到奖励金额的数学期望是 700 元。