例 4.2.1 (相关系数只反映线性关系)

设 $X\sim N\left(0,1\right)$. 若令 $Y=X^2$, 则 $X$ 与 $Y$ 有确定的非线性关系. 但是

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Cov}(X,Y)& =E\left[XY\right]-E\left[X\right]\cdot E\left[Y\right]\\ & =E\left[X^3\right]-E\left[X\right]\cdot E\left[X^2\right]\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^3\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx-0\cdot 1\\ & =0.\end{array}$$

这说明 $X$ 与 $Y$ 不相关.