定理 4.2.1 (协方差 相关系数)

设 $(X,Y)$ 为二维随机向量,且 $\mathrm{Var}\left[X\right]<\infty$, $\mathrm{Var}\left[Y\right]<\infty$.

(1) (独立的必要条件) 若 $X$ 与 $Y$ 独立, 则 $\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)=0$, 亦即 $r\left(X,Y\right)=0$

• 此事实由 4.2.2 节中期望的性质 3 和 (4.2.7) 是显然的

(2) $\left|r\left(X,Y\right)\right|\le 1$.

(3)

• 若 $r\left(X,Y\right)=1$, 则存在常数 $a>0$ 和 $b$, 使得

$$P\left(Y=aX+b\right)=1.$$

• 若 $r\left(X,Y\right)=-1$, 则存在常数 $a<0$ 和 $b$,使得

$$P\left(Y=aX+b\right)=1.$$