性质 2 (双线性性)

性质 2 (双线性性)

设随机变量 $X,Y$ 和 $Z$ 的方差都存在, $a,b$ 为常数,则有

$$\mathrm{Cov}\left[aX+bY,Z\right]=a\mathrm{Cov}\left[X,Z\right]+b\mathrm{Cov}\left[Y,Z\right]\text{\hspace{1em}(4.2.12)}$$

和

$$\mathrm{Cov}\left[Z,aX+bY\right]=a\mathrm{Cov}\left[Z,X\right]+b\mathrm{Cov}\left[Z,Y\right].\text{\hspace{1em}(4.2.13)}$$

这个性质由协方差的对称性以及

$$\begin{array}{rl}& E\left[\left(aX+bY\right)-E\left[aX+bY\right]\left(Z-E\left[Z\right]\right)\right]\\ & =aE\left[\left(X-E\left[X\right]\right)\left(Z-E\left[Z\right]\right)\right]+bE\left[\left(Y-E\left[Y\right]\right)\left(Z-E\left[Z\right]\right)\right]\\ & =a\mathrm{Cov}\left[X,Z\right]+b\mathrm{Cov}\left[Y,Z\right]，\end{array}$$

即得.