性质 2 (期望的线性性)

性质 2 (期望的线性性)

设随机变量 $X,Y$ 的数学期望都存在, $a,b$ 为常数, 则

$$E\left[aX+bY\right]=aE\left[X\right]+bE\left[Y\right].\text{\hspace{1em}(4.2.8)}$$

证明

不失一般性, 只就连续型随机变量的情形加以证明. 设 $(X,Y)$ 的联合分布密度为 $f_{X,Y}$, 由于 $X,Y$ 的数学期望都存在, 所以

$$\begin{array}{rl}& {\int }_{{\mathbf{R}}^2}\left|ax+by\right|f_{X,Y}\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & \le \left|a\right|{\int }_{{\mathbf{R}}^2}\left|x\right|f_{X,Y}\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\left|b\right|{\int }_{{\mathbf{R}}^2}\left|y\right|f_{X,Y}\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =\left|a\right|{\int }_{-\infty }^{\infty }\left|x\right|f_X\left(x\right)\mathrm{d}x+\left|b\right|{\int }_{-\infty }^{\infty }\left|y\right|f_Y\left(y\right)\mathrm{d}y\\ & <\infty .\end{array}$$

另外, 由积分的线性性知

$$\begin{array}{rl}E\left[aX+bY\right]& ={\int }_{{\mathbf{R}}^2}\left(ax+by\right)f_{X,Y}\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =a{\int }_{{\mathbf{R}}^2}x{f}_{X,Y}\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y+b{\int }_{{\mathbf{R}}^2}y{f}_{X,Y}\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =a{\int }_{-\infty }^{\infty }x{f}_X\left(x\right)\mathrm{d}x+b{\int }_{-\infty }^{\infty }y{f}_Y\left(y\right)\mathrm{d}y\\ & =aE\left[X\right]+bE\left[Y\right].\end{array}$$