通过期望计算协方差

通过期望计算协方差

$$\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)=E\left[XY\right]-E\left[X\right]\cdot E\left[Y\right].\text{\hspace{1em}(4.2.7)}$$

由 (4.2.5) 和 (4.2.1), 有

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Cov}(X,Y)& =E\left[(X-E\left[X\right])(Y-E\left[Y\right])\right]\\ & =\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }\left(x_i-E\left[X\right]\right)\left(y_j-E\left[Y\right]\right)p_{ij}\\ & =\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }\left(x_i{y}_j-E\left[X\right]\cdot y_j-E\left[Y\right]\cdot x_i+E\left[X\right]\cdot E\left[Y\right]\right)p_{ij}\\ & =\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{x}_i{y}_j{p}_{ij}-E\left[X\right]\cdot \sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{y}_j{p}_{ij}\\ & -E\left[Y\right]\cdot \sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{x}_i{p}_{ij}+E\left[X\right]\cdot E\left[Y\right]\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{p}_{ij}\\ & =\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{x}_i{y}_j{p}_{ij}-E\left[X\right]\cdot \sum _{j=1}^{\infty }{y}_j{p}_{\cdot j}-E\left[Y\right]\cdot \sum _{i=1}^{\infty }{x}_i{p}_{i\cdot }\\ & +E\left[X\right]\cdot E\left[Y\right]\\ & =E\left[XY\right]-E\left[X\right]\cdot E\left[Y\right]-E\left[Y\right]\cdot E\left[X\right]\\ & +E\left[X\right]\cdot E\left[Y\right]\\ & =E\left[XY\right]-E\left[X\right]\cdot E\left[Y\right].\end{array}$$

读者也可利用 (4.2.5) 和 (4.2.2) 证明 (4.2.7).