第五章 大数定律和中心极限定理

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• 5.2 中心极限定理
• 第五章小结与注记
• 第五章习题

我们知道, 对应于随机试验的一个结果 $\omega$, 随机变量序列 $X_1,X_2,\cdots$, 就得到一个数列 $X_1\left(\omega \right),X_2\left(\omega \right),\cdots$, 不同的试验结果对应的数列有所不同, 那么在算术平均意义下是否与某一个确定数列相差不大? 若答案是肯定的, 我们就可以近似地用该确定数列的算术平均值代替随机变量序列的算术平均值. 回答这个问题的有关定理和事实, 历史上称之为 “大数定律”, 这里的 “定律” 源自英文 law of large number.

另外, 将该随机变量序列经某种规范化, 会不会在某种意义下收敛到具某一分布已知的随机变量? 回答这个问题的有关定理和事实, 历史上称之为 “中心极限定理” (central limit theorem).

以上两个问题的回答, 是初等概率论中最深入和最精彩的结果, 为此要引入随机变量收敛性的各种定义以及诸如母函数、矩母函数和特征函数等分析工具. 但由于课程内容深度和学时的限制, 我们本章只做简单讨论.