Borel-Cantelli 引理

1. 引言

在概率论中，我们经常需要研究无穷多次随机试验中某些事件发生的可能性。Borel-Cantelli 引理是处理这类问题的有力工具。它提供了判断无穷序列事件中至少发生一次的事件是否发生的概率为 0 或 1 的准则。本讲义将通过一个简单的引例来初步理解 Borel-Cantelli 引理的思想。

2. 回顾：概率空间与事件序列

• 概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$:

  • $\Omega$ 是样本空间，表示所有可能结果的集合。
  • $\mathcal{F}$ 是 $\Omega$ 的子集构成的 $\sigma$-代数，表示我们感兴趣的事件集合。
  • $P$ 是定义在 $\mathcal{F}$ 上的概率测度，满足 $0\le P(A)\le 1$ 对所有 $A\in \mathcal{F}$ 成立，$P(\Omega )=1$，且对于可数个互不相容的事件 $A_1,A_2,\dots$，有 $P({\bigcup }_{n=1}^{\infty }{A}_n)={\sum }_{n=1}^{\infty }P(A_n)$。

• 事件序列 $\{A_n{\}}_{n=1}^{\infty }$: 一系列定义在同一个概率空间上的事件。

• 事件 $A_n$ 无穷多次发生: 指的是存在无穷多个 $n$ 使得事件 $A_n$ 发生。这个事件可以表示为：

  $$\{\omega \in \Omega :\omega \in A_n\text{ 对于无穷多个 }n\}=\bigcap _{k=1}^{\infty }\bigcup _{n=k}^{\infty }{A}_n$$

3. Borel-Cantelli 引理 (第一部分)

定理 (Borel-Cantelli 引理 - 第一部分): 设 $\{A_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ 是概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 中的一个事件序列。如果

$$\sum _{n=1}^{\infty }P(A_n)<\infty$$

那么事件 $A_n$ 无穷多次发生的概率为 0，即

$$P\left(\bigcap _{k=1}^{\infty }\bigcup _{n=k}^{\infty }{A}_n\right)=0$$

直观理解: 如果事件序列的概率之和是有限的，这意味着随着 $n$ 的增大，事件 $A_n$ 发生的可能性会逐渐减小到足够快的速度，以至于无穷多个事件同时发生的概率为零。

4. 引例：抛硬币实验

考虑一个无限次的独立抛掷均匀硬币的实验。设 $H_n$ 表示第 $n$ 次抛掷结果为正面的事件。那么对于所有的 $n\ge 1$，我们有 $P(H_n)=\frac{1}{2}$。

现在，我们考虑一个新的事件序列 $\{B_n{\}}_{n=1}^{\infty }$，其中 $B_n$ 表示在第 $n$ 次抛掷时，连续出现至少 $\lceil 2{\log }_{2}n\rceil$ 次正面。这里 $\lceil x\rceil$ 表示大于或等于 $x$ 的最小整数。

我们的目标是利用 Borel-Cantelli 引理来分析事件 $B_n$ 无穷多次发生的概率。

5. 分析引例

首先，我们需要计算事件 $B_n$ 的概率 $P(B_n)$。为了在第 $n$ 次抛掷时连续出现至少 $k=\lceil 2{\log }_{2}n\rceil$ 次正面，这 $k$ 次抛掷必须都是正面，并且这 $k$ 次抛掷可以从第 $n-k+1$ 次开始，到第 $n$ 次结束（如果 $n\ge k$）。

由于每次抛掷是独立的，连续 $k$ 次出现正面的概率是 $(\frac{1}{2}{)}^k=2^{-k}$。

因此，事件 $B_n$ 的概率为：

$$P(B_n)=P(\text{第 }n\text{ 次抛掷时，连续出现至少 }\lceil 2{\log }_{2}n\rceil \text{ 次正面})$$

更精确地，我们考虑从第 $n-\lceil 2{\log }_{2}n\rceil +1$ 次到第 $n$ 次这 $\lceil 2{\log }_{2}n\rceil$ 次抛掷都是正面的情况。由于独立性，其概率为：

$$P(B_n)\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\lceil 2{\log }_{2}n\rceil }$$

由于 $\lceil 2{\log }_{2}n\rceil \ge 2{\log }_{2}n={\log }_2(n^2)$, 我们有：

$$2^{\lceil 2{\log }_{2}n\rceil }\ge 2^{2{\log }_{2}n}=(2^{{\log }_{2}n}{)}^2=n^2$$

所以，

$$P(B_n)\le \frac{1}{n^2}$$

现在，我们考虑概率之和：

$$\sum _{n=1}^{\infty }P(B_n)\le \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$$

我们知道，级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ 是一个收敛的 $p$-级数 ($p=2>1$)，其和为 $\frac{{\pi }^2}{6}$。

因此，我们有：

$$\sum _{n=1}^{\infty }P(B_n)<\infty$$

6. 应用 Borel-Cantelli 引理

根据 Borel-Cantelli 引理的第一部分，由于 ${\sum }_{n=1}^{\infty }P(B_n)<\infty$，事件 $B_n$ 无穷多次发生的概率为 0。

也就是说，在无限次的独立抛掷均匀硬币的实验中，连续出现至少 $\lceil 2{\log }_{2}n\rceil$ 次正面的情况只可能发生有限次，其概率为 0。

7. 总结

通过这个引例，我们初步了解了 Borel-Cantelli 引理第一部分的应用。它允许我们通过分析单个事件发生的概率之和，来判断整个事件序列中无穷多次发生的概率是否为零。这个引理在概率论的许多领域都有重要的应用，例如随机过程、极限定理等。

8. 思考题

1. 如果我们将连续出现正面的次数改为 $\lceil {\log }_{2}n\rceil$，那么事件 $B_n$ 无穷多次发生的概率会是多少？请尝试分析。
2. Borel-Cantelli 引理的第二部分给出了事件无穷多次发生概率为 1 的条件。请查找并尝试理解第二部分的内容。