第五章习题

5.1.

假设 $X$ 和 $Y$ 为随机变量,且满足 $E\left[X\right]=-2,E\left[Y\right]=2,\mathrm{Var}\left[X\right]=1,\mathrm{Var}\left[Y\right]=9$, $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $r\left(X,Y\right)=-0.5$. 试由切比雪夫不等式确定满足不等式: $P(\left|X+Y\right|\ge$ $6)\le c$ 的最小正数 $c$ 之值.

5.2.

设 $X_1,X_2$ 为随机变量且 $E\left[X_i\right]=0,\mathrm{Var}\left[X_i\right]=1\left(i=1,2\right)$. 证明: 对任意的 $\lambda >0$ 有 $P\left(X_1^2+X_2^2\ge 2\lambda \right)\le \frac{1}{\lambda }$.

5.3.

在一枚均匀正四面体的四个面上分别画上1,2,3,4个点. 现将该四面体重复投掷. 极限. $X_i\left(i=1,2,\cdots \right)$ 为第 $i$ 次投掷向下一面的点数,试求当 $n\to \infty$ 时, $\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2$ 依概率收敛的

5.4.

设 $\left\{X_n\right\}$ 是独立的随机变量序列,且假设

$$P\left(X_n=\sqrt{\ln n}\right)=P\left(X_n=-\sqrt{\ln n}\right)=0.5,n=1,2,\cdots .$$

问 $\left\{X_n\right\}$ 是否服从大数定律.

5.5.

设 $\left\{X_n\right\}$ 是独立同分布的随机变量序列,且假设 $E\left[X_n\right]=2,\mathrm{Var}\left[X_n\right]=6$. 证明. 值. $\frac{X_1+X_2{X}_3+X_4^2+X_5{X}_6+\cdots +X_{3n-2}^2+X_{3n-1}{X}_{3n}}{n}\stackrel{P}{\to }a,n\to \infty$,并确定常数 $a$ 之

5.6.

设随机变量 $X\sim B\left(100,0.8\right)$,试用棣莫弗-拉普拉斯定理求 $P\left(80\le X<100\right)$ 的近似值.

5.7.

一仪器同时收到 50 个信号 $X_k,k=1,2,\cdots ,50$. 设 $X_1,\cdots ,X_{50}$ 相互独立,且都服从区间 $\left[0,9\right]$ 上的均匀分布,试求 $P\left(\sum _{k=1}^{50}{X}_k>250\right)$ 的近似值.

5.8.

一个复杂的系统由 $n$ 个相互独立起作用的部件所组成,每个部件损坏的概率为 0.10. 为了使整个系统正常运行,至少需要 $80\%$ 或 $80\%$ 以上的部件正常工作,问 $n$ 至少为多大才能使整个系统正常工作的概率不小于 95%.

5.9.

某大卖场某种商品价格波动为随机变量,设第 $k$ 天 (较前一天) 的价格变化为 $X_k,k=1,2,\cdots ,n.X_1,\cdots ,X_n$ 独立同分布,都服从 $\left[-0.15,0.15\right]$ 上的均匀分布,令 $Y_n=Y_0+\sum _{i=1}^n{X}_i$ 表示第 $n$ 天的价格,而现在价格 $Y_0=50$,用中心极限定理估计概率 $P\left(48\le Y_{60}\le 52\right)$ 之值.

5.10.

设某汽车销售点每天出售的汽车数量服从参数为 $\lambda =2$ 的泊松分布,若 200 天都经营汽车销售, 且每天出售的汽车数是相互独立的, 求 200 天售出 380 辆以上汽车的概率.

5.11.

假设某洗衣店为第 $i$ 个顾客服务的时间 $X_i$ 服从区间 $\left[5,53\right]$ (单位: 分钟) 上的均匀以概率 1 收敛于何值? 分布,且对每个顾客是相互独立的,试问当 $n\to \infty$ 时, $n$ 次服务时间的算术平均值 $\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$