第六章习题

6.1.

设 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 是来自总体 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$ 的样本,并设

$$T_1=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,T_2=T_1-\mu ,T_3=\frac{\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\mu \right)}^2}{{\sigma }^2},T_4=\frac{\sum _{i=1}^n{\left(X_i-T_1\right)}^2}{{\sigma }^2}.$$

试在下列情形下指出哪些随机变量是统计量:

(1) 在 ${\sigma }^2$ 已知, $\mu$ 未知的情形下. (2) 在 $\mu ,{\sigma }^2$ 均未知的情形下.

6.2.

设 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_5\right)$ 是来自总体 $N\left(0,4\right)$ 的一个样本,且

$$Y=a{X}_1^2+b{\left(2X_2+3X_3\right)}^2+c{\left(4X_4-X_5\right)}^2,$$

问非零常数 $a,b,c$ 取何值时,随机变量 $Y$ 服从 ${\chi }^2$ 分布?

6.3.

设 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_8\right)$ 是来自总体 $N\left(0,1\right)$ 的简单随机样本. 求常数 $c$,使得

$$\frac{c\left(X_1^2+X_2^2\right)}{{\left(X_3+X_4+X_5\right)}^2+{\left(X_6+X_7+X_8\right)}^2}$$

服从 $F$ 分布,并指出其自由度.

6.4.

设 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_9\right)$ 是来自总体 $N\left(0,1\right)$ 的简单随机样本. 试确定正数 $c$. 使得 $\frac{c\left(X_1+X_2+X_3\right)}{\sqrt{{\left(X_4+X_5\right)}^2+{\left(X_6+X_7\right)}^2+{\left(X_8+X_9\right)}^2}}$ 服从 $t$ 分布, 并指出其自由度.

6.5.

设 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_{10}\right)$ 是来自总体 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$ 的一个样本,记

$$\bar{X}=\frac{1}{9}\sum _{i=1}^9{X}_i,S_9^{\ast 2}=\frac{1}{8}\sum _{i=1}^9{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2,T=\frac{3\left(X_{10}-\bar{X}\right)}{S_9^{\ast }\sqrt{10}}$$

确定 $T$ 服从何种分布,并说明缘由.

6.6.

设 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_{20}\right)$ 是来自总体 $X\sim N\left(0,1\right)$ 的一个样本,记

$$Y=\frac{1}{10}{\left(\sum _{i=1}^{10}{X}_i\right)}^2+\frac{1}{10}{\left(\sum _{i=11}^{20}{X}_i\right)}^2,$$

试确定 $Y$ 所服从的分布.

6.7.

设总体 $X\sim N\left(0,{\sigma }^2\right)$,从 $X$ 中抽得样本 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_{14}\right)$,记

$$Y_1=\frac{1}{5}\sum _{i=1}^5{X}_i,Y_2=\frac{1}{5}\sum _{i=10}^{14}{X}_i,Z_1=\sum _{i=1}^5{\left(X_i-Y_1\right)}^2,$$ $$Z_2=\sum _{i=10}^{14}{\left(X_i-Y_2\right)}^2,Z_3=\sum _{i=6}^9{X}_i^2,T=\frac{Z_1+Z_2}{2Z_3},$$

确定 $T$ 服从何种分布,并说明缘由.

6.8.

设总体 $X\sim \mathrm{Exp}\left(\lambda \right)$,从 $X$ 中抽取样本 $\left(X_1,X_2\right)$,记

$$Y_1=\min \left\{X_1,X_2\right\},Y_2=\max \left\{X_1,X_2\right\}$$

求 (1) $Y_1$ 和 $Y_2$ 的分布密度函数. (2) $E{Y}_1,E{Y}_2$.

6.9.

设总体 $X$ 的密度函数为

$$f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}2x,& 0<x<1,\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

$\left(X_1,X_2,X_3\right)$ 是来自 $X$ 的简单随机样本,求 (1) $X_{\left(3\right)}$ 的分布密度函数. (2) $\mathrm{Var}\left[X_{\left(3\right)}\right]$.

6.10.

设总体 $X$ 的概率分布为 $P\left(X=i\right)=\frac{1}{3},i=1,2,3.\left(X_1,X_2,X_3\right)$ 为来自 $X$ 的样本,求 (1) $E\left[X_{\left(1\right)}\right]$. (2) $\mathrm{Var}\left[X_{\left(3\right)}\right]$.

6.11.

设 ${\bar{X}}_n,S_n^2$ 分别为样本 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 的均值与方差,而 $X_{n+1}$ 是第 $n+1$ 次观测量, 试证: (1) ${\bar{X}}_{n+1}=\frac{n}{n+1}{\bar{X}}_n+\frac{1}{n+1}{X}_{n+1}$. (2) $S_{n+1}^2=\frac{n}{n+1}\left[S_n^2+\frac{1}{n+1}{\left(X_{n+1}-{\bar{X}}_n\right)}^2\right]$.

6.12.

设总体 $X\sim B\left(m,p\right)$,而 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 是来自 $X$ 的样本, (1) 求 $E\left[X\right],\mathrm{Var}\left[X\right]$. (2) 求 $E\left[S_n^2\right]$.

6.13.

设 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 是来自 $0-1$ 分布 $B\left(1,p\right)$ 的简单随机样本, $X,S_n^2$ 分别为样本均值与样本方差. (1) 求 $E\left[\bar{X}\right]$, $\text{Var}\left[\bar{X}\right]$ (2) 求 $E\left[S_n^2\right]$. (3) 证明: $S_n^2=\bar{X}\left(1-\bar{X}\right)$.

6.14.

设总体 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right),\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 为来自 $X$ 的样本, $\bar{X},S_n^2$ 分别为样本均值与方差,求 (1) $E\left[{\bar{X}}^2\right]$ 之值, (2) $E\left[{\bar{X}}^2{S}_n^2\right]$ 之值.

6.15.

请查表或利用 $\mathrm{R}$ 软件给出下列分位数: (1) $u_{0.05}$. (2) $t_{0.975}\left(8\right)$ (3) $t_{0.05}\left(9\right)$ (4) ${\chi }_{0.975}^2\left(5\right)$. (5) $F_{0.025}\left(6,5\right)$.

6.16.

设 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_{11}\right)$ 为来自 $X\sim N\left(-1,4\right)$ 的样本, $\bar{X}=\frac{1}{10}\sum _{i=1}^{10}{X}_i$. 求

(1) $P\left(X_{10}-\bar{X}<0.5\right)$ 之值. (2) $P\left(X_{11}-\bar{X}<0.5\right)$ 之值.

6.17.

设总体 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right),\left(X_1,X_2,\cdots ,X_8\right)$ 为来自 $X$ 的样本, $S_8^{\ast 2}=\frac{1}{7}\sum _{i=1}^8{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$, 求 $P\left(\sqrt{8}\left(\bar{X}-\mu \right)<-1.9S_8^{\ast }\right)$ 之值.

6.18.

设 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_9\right)$ 为来自 $N\left(2,4\right)$ 的样本, $\left(Y_1,Y_2,\cdots ,Y_{17}\right)$ 为来自 $N\left(3,9\right)$ 的样本, 且两样本独立, 令 $F=\frac{\sum _{i=1}^9{\left(X_i-2\right)}^2}{\sum _{i=1}^{17}{\left(Y_i-\bar{Y}\right)}^2}$, 求 $P\{0.0836<F<0.9450\}$ 之值.

6.19.

设 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_{10}\right)$ 为来自 $N\left(-1,9\right)$ 的样本,求

(1) $P\left(\sum _{i=1}^{10}{\left(X_i+1\right)}^2\ge 112.941\right)$ 之值.

(2) $P\left(\sum _{i=1}^{10}{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2\ge 53.091\right)$.