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总体与样本是数理统计最基本的两个概念,其直观意义很明确. 但只有把它们归结为一个随机变量和一个随机向量, 才便于对统计方法和结果作概率上的分析论证. 基于数学工具的限制, 我们不得不限制样本为 “简单随机样本”, 亦即, 各分量间相互独立, 且都与总体同分布. 试想一批产品有 100 件, 从中抽取 10 件做检验, 来推断该批产品的不合格品率. 有放回抽取较为准确还是无放回较为准确？有放回抽取是独立试验还是无放回抽取是独立试验？
我们说, 数理统计就是 “由局部推断整体”. 现在就可以具体化为: 总体是数理统计的研究目标, 而样本是数理统计的出发点.
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统计量则是由出发点到目标的途径. 直观上, 统计量就是样本的函数, 也就是要对样本经过处理才能说明总体. 当然, 直观和理论上, 我们都不希望它包含未知参数, 否则就得不出结果, 一切都是徒劳的.
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由于我们通过统计量来说明总体,所以把握统计量的统计特性就非常重要. 遗憾的是, 对于一般分布的总体, 其统计量的分布很难得到, 即使对样本均值和样本方差这样简单的统计量也是如此. 对这种总体的处理, 往往用 “大样本埋论”来研究, 即样本容量较大时, 通过求统计量的近似分布来完成对统计方法的
只有对正态总体, 其样本均值、样本方差的分布可以求得, 且二者独立 (见抽样分布基本定理),从而根据几个特殊的分布 分布、 分布和 分布) 的定义, 我们得到了几种重要的样本函数的分布 (参见推论 6.2.1 - 推论 6.3.4), 它们在后续参数的区间估计和假设检验中起到关键作用.
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顺序统计量也有直观的应用, 但其分布往往难以求得, 甚至于正态总体的顺序统计量的分布都没有显式表达式. 一般较少用到.