6.3.3 分位数

在统计推断过程中 (比如后文介绍的参数的区间估计和假设检验中).

已知总体 $X$ 的分布及某概率值 $\alpha$, 需要知道 $X$ 小于和等于哪个数的概率为 $\alpha$. 这个数称为 $X$ 的 $\alpha$ 分位数, 亦即

定义 (分位数)

设 $X\sim \psi \left(n\right)$ ( $\psi$ 为某种分布, $n$ 为有关自由度), $0<\alpha <1$. 称满足

$$P\left(X\le {\psi }_{\alpha }\left(n\right)\right)=\alpha$$

的数 ${\psi }_{\alpha }\left(n\right)$ 为分布 $\psi \left(n\right)$ 的 $\alpha$ 分位数 (或分位点)

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几种常用分布的分位数如图 6.4 - 图 6.7 所示.

图 6.4 N(0,1) 分布分位点示意图

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图 6.5 卡方分布分位点示意图

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图 6.6 t 分布分位点示意图

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图 6.7 F 分布分位点示意图

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由于 $N\left(0,1\right)$, ${\chi }^2\left(n\right)$, $t\left(n\right)$ 和 $F\left(m,n\right)$ 的分布密度函数的积分较为复杂 (或个可能), 有关概率的计算只能查表,这些表是经数值计算得到的. 如用 R 软件则不用查表, 而是调用专门的分位数函数, 它们的格式是 quantile(分位数) 的第一个字母 q 后续分布名及圆括弧 ( ) 内写概率值 $\alpha$ 和有关参数值,如 qnorm $\left(\alpha \right)$. $\mathrm{qt}\left(\alpha ,\mathrm{n}\right),\mathrm{qf}\left(\alpha ,\mathrm{m},\mathrm{n}\right)$ 等.

如需查表, 我们需要说明几点:

1. 对于 $t\left(n\right)$ 分布, 由于当 $n$ 趋于无穷时, 其极限分布为 $N\left(0,1\right)$, 所以自由度较大时, 用标准正态分布的分位数 $u_{\alpha }$ 代替 $t_{\alpha }\left(n\right)$ 的分位数.
2. 若 $X\sim {\chi }^2\left(n\right)$ 分布, 则当 $n$ 趋于无穷时, $\left(X-n\right)/\sqrt{2n}$ 近似地服从 $N\left(0,1\right)$, 所以当自由度较大时, 近似地有 ${\chi }_{\alpha }^2\left(n\right)=u_{\alpha }\sqrt{2n}+n$.
3. 对于 $F\left(m,n\right)$ 分布和 $\alpha \left(0<\alpha <1\right)$, 有 $F_{\alpha }\left(m,n\right)=1/F_{1-\alpha }\left(n,m\right)$.

例 6.3.1 (分位数求解)