比较卡方分布、t分布、F分布的区别与联系

卡方分布、t分布和F分布是统计学中三大重要抽样分布，在假设检验和参数估计中具有核心作用。以下从定义、性质和应用角度进行系统比较：

三大分布对比表

特征	卡方分布 (χ²)	t分布 (Student’s t)	F分布
定义	独立标准正态变量平方和	正态变量与卡方变量根之比	两个独立卡方变量自由度比
概率密度函数	$f (x) = \frac{x ^{k /2 - 1} e ^{- x /2}}{2 ^{k /2} Γ ( k /2 )}$	$f (t) = \frac{Γ ( \frac{ν + 1}{2} )}{ν π Γ ( \frac{ν}{2} )} (1 + \frac{t ^{2}}{ν})^{- (ν + 1) /2}$	$f (x) = \frac{\frac{( d _{1} x ) ^{d_{1}} d _{2}^{d_{2}}}{( d _{1} x + d _{2} ) ^{d_{1} + d_{2}}}}{x B ( \frac{d _{1}}{2} , \frac{d _{2}}{2} )}$
参数	自由度 $k$	自由度 $ν$	自由度 $d_{1}, d_{2}$
取值范围	$[0, + \infty)$	$(- \infty, + \infty)$	$[0, + \infty)$
形态特征	右偏态，随 $k$ 增大趋近正态	对称钟型，尾部厚于正态	右偏态，随自由度增加趋近正态
均值	$k$	0 (当 $ν > 1$ )	$\frac{d _{2}}{d _{2} - 2}$ ( $d_{2} > 2$ )
方差	$2 k$	$\frac{ν}{ν - 2}$ ( $ν > 2$ )	$\frac{2 d _{2}^{2} ( d _{1} + d _{2} - 2 )}{d _{1} ( d _{2} - 2 ) ^{2} ( d _{2} - 4 )}$ ( $d_{2} > 4$ )
主要应用	方差检验、拟合优度检验、独立性检验	均值差异检验、回归系数显著性检验	方差齐性检验、ANOVA、回归模型显著性检验

核心联系

衍生关系
- t分布可视为正态分布与卡方分布的组合： $T = \frac{Z}{χ _{ν}^{2} / ν}$ ¹²
- F分布本质是两个卡方分布的比值： $F = \frac{χ _{d_{1}}^{2} / d _{1}}{χ _{d_{2}}^{2} / d _{2}}$ ³⁴
渐进性质
- 当自由度 $ν \to \infty$ 时，t分布收敛于标准正态分布
- 当 $d_{1} = 1$ 时，F分布等价于t分布的平方
检验方法关联
- 回归分析中，F检验整体模型显著性，t检验单个系数显著性
- 方差分析(ANOVA)使用F分布，事后比较常采用t检验

应用示例：在药物疗效比较实验中，先用F检验判断不同剂量组的方差齐性，再用t检验比较各组均值差异，最后用卡方检验分析疗效与剂量的独立性。这种组合检验充分发挥了三大分布的特点³²⁵。