第七章习题

7.1.

设总体 $X$ 的分布密度函数为

$$f\left(x,\theta \right)=\{\begin{array}{cc}\theta \left(\theta +1\right)x^{\theta -1}\left(1-x\right),& 0<x\le 1\\ 0,& \text{ 其他,}\end{array}$$

其中 $\theta >0.\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本,求未知参数 $\theta$ 的矩估计量.

7.2.

假设每升水中大肠杆菌的数目 $X$ 服从泊松分布 $\mathrm{Pois}\left(\lambda \right)$,其中 $\lambda >0$. 为了检验某种自来水消毒设备的效果, 现从消毒后的水中随机抽取 60 个样品 (每个样品为 1 升水) 进行化验, 结果如下:

大肠杆菌的个数/升	0	1	2	3	4	5
样品数	16	22	10	7	3	2

试求未知参数 $\lambda$ 的矩估计值.

7.3.

设总体 $X$ 的分布密度函数为 $f\left(x,\theta \right)=\frac{1}{2\theta }{\mathrm{e}}^{-\frac{|x|}{\theta }}$,其中 $\theta >0$ 是未知参数, $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 是 $X$ 的容量为 $n$ 的样本. 求 $\theta$ 的最大似然估计量.

7.4.

设总体 $X$ 的分布密度函数为

$$f\left(x,\theta \right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\theta }{\mathrm{e}}^{-\frac{x-1}{\theta }},& x>1,\\ 0,& x\le 1,\end{array}$$

其中 $\theta >0$ 是未知参数, $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 是 $X$ 的容量为 $n$ 的样本. 求 $\theta$ 的最大似然估计量.

7.5.

设总体 $X$ 的分布列为

$X$	1	2	3
$P$	$\theta$	$\theta$	$1-2\theta$

其中 $0<\theta <\frac{1}{2}$,今有样本观测值

1,1,1,3,2,1,3,2,2,1,2,2,3,1,1,2

试求 $\theta$ 的最大似然估计值.

7.6.

设总体 $X\sim B\left(m,p\right)$,其中 $0<p<1,p$ 为未知参数, $m$ 为正整数且已知. $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 是取自总体 $X$ 的样本,求未知参数 $p$ 的矩估计量 ${\hat{p}}_M$ 及最大似然估计量

7.7.

设总体 $X$ 服从区间 $\left[\theta ,2\theta \right]\left(\theta >0\right)$ 上的均匀分布, $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 是取自总体 $X$ 的样本,试求 $\theta$ 的矩估计量 ${\hat{\theta }}_M$ 及最大似然估计量 ${\hat{\theta }}_L$.

7.8.

设总体 $X\sim \mathrm{Exp}\left(\lambda \right)$,其中 $\lambda \left(>0\right)$ 为未知参数,现从总体中抽得容量为 8 的样本观测值分别为

$$1250,1265,1245,1260,1275,1248,1252,1261$$

试求 $\lambda$ 的矩估计值 ${\hat{\lambda }}_M$ 及最大似然估计值 ${\hat{\lambda }}_L$.

7.9.

设总体 $X$ 的密度函数为

$$f\left(x,\alpha ,\beta \right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\beta }{\mathrm{e}}^{-\frac{x-\alpha }{\beta }},& \alpha \le x,\alpha >0,\beta >0,\\ 0,& \text{ 否则,}\end{array}$$

其中 $\alpha ,\beta$ 为未知参数, $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 是取自总体 $X$ 的样本,试求 $\alpha ,\beta$ 的矩估计量及最大似然估计量.

7.10.

已知某种灯泡的寿命服从指数分布, 现从该种灯泡随机抽取 12 只, 测得寿命分别为 (单位: 小时):

$$1120,1020,1196,1126,1296,1306,1095,1180,1280,1322,1091,1122$$

试用最大似然估计方法估计出这种型号灯泡寿命超过 1500 小时的概率.

7.11.

假设总体 $X$ 服从参数为 $p$ 的 $0-1$ 分布 $\left(0<p<1\right),\left(X_1,\cdots ,X_n\right)$ 为来自 $X$ 的样本. (1) 试求 $p^2$ 的无偏估计. (2) 证明: $1/p$ 的无偏估计不存在.

7.12.

若总体 $X$ 的分布密度函数为

$$f\left(x,\theta \right)=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{\theta }{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2\theta }},& x>0,\\ 0,& x\le 0,\end{array}$$

其中 $\theta \left(>0\right)$ 为未知参数, $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 是取自总体 $X$ 的样本,试求 $\theta$ 的无偏估计量.

7.13.

设总体 $X$ 在区间 $\left[0,\theta \right]$ 上服从均匀分布,其中参数 $\theta$ 未知, $\left(X_1,\cdots ,X_n\right)\left(n>2\right)$ 是从该总体抽取的样本. (1) 证明 $T_1=2\bar{X},T_2=\left(n+1\right)X_{\left(1\right)}$ 均为 $\theta$ 的无偏估计量. (2) 问哪个估计量更为有效？

7.14.

设 $\left(X_1,\cdots ,X_n\right)$ 是来自服从区间 $\left[0,2\theta \right]$ 均匀分布的一个样本,求 $\theta$ 的极大似然估计量,并证明其是 $\theta$ 的相合估计.

7.15.

设 $\left(X_1,\cdots ,X_n\right)$ 是来自泊松分布 $\mathrm{Pois}\left(\theta \right)$ 的一个样本,证明: $2\bar{X}+5$ 是 $2\theta +5$ 的相合估计.

7.16.

设总体 $X$ 服从二项分布 $B\left(10,\theta \right)$,其中 $\theta \left(0<\theta <1\right)$ 为未知参数, $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 是来自总体 $X$ 的一个样本. (1) 求 $\theta$ 的最大似然估计量. (2) 证明该估计量是无偏的并且为 $\theta$ 的相合估计.

7.17.

设总体 $X\sim N\left(\mu ,4\right)$,其中 $\mu$ 未知. $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本,则 $\left[\bar{X}-\frac{2u_{0.95}}{\sqrt{n}},\bar{X}+\frac{2u_{0.95}}{\sqrt{n}}\right]$ 作为 $\mu$ 的置信区间,其置信度为多少并说明原因? 要使置信区间的长度不超过 1, 样本容量至少为多少?

7.18.

设总体 $X$ 服从 $N\left(\mu ,1\right)$,其中 $\mu$ 为未知参数. $\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 是来自总体 $X$ 的一个样本观测值. 假定由这组观测值求出 $\mu$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间为 $\left[0.2,5\right]$,由这组观测值确定 $\theta =3\mu +7$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的置信区间.

7.19.

某自动包装机包装洗衣粉,其重量 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$,其中 $\mu ,\sigma$ 未知. 今随机抽取 12 袋测得其重量,经计算得样本均值 $\bar{x}=1000.25\left(\mathrm{g}\right)$,修正样本标准差 $s_{12}^{\ast }=2.6329\left(\mathrm{g}\right)$,试求

(1) 总体均值 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间,

(2) 总体标准差 $\sigma$ 的置信度为 0.95 的置信区间.

7.20.

为了比较甲、乙两类试验田的收获量, 随机抽取甲类试验田 8 块, 乙类试验田 10 块, 测得亩产量如下 (单位: kg):

甲类 :510,628,583,615,554,612,530,525

乙类:433,535,398,470,560,567,498,480,503,426

假定这两类试验田的亩产量都服从正态分布,且方差相同,求两总体均值之差 ${\mu }_{\text{甲 }}-{\mu }_{乙}$ 的置信度为 $95\%$ 的置信区间.

7.21.

有两位化验员 $A$ 与 $B$ 独立地对一批聚合物含氯量用同样方法各进行 10 次重复测定,其样本方差分别为 $S_{\#}^{\ast 2}=0.541,S_Z^{\ast 2}=0.606$,若 $A$ 与 $B$ 的测量值都服从正态分布,试求总体方差比 ${\sigma }_{\text{甲 }}^2/{\sigma }_{\text{乙 }}^2$ 的 $95\%$ 的置信区间.