7.1.3 顺序统计量估计

利用顺序统计量作参数估计,其想法是若对总体 $X$ 作 $n$ 次观测 (即抽取容量为 $n$ 的样本),则 $X$ 的中位数应近乎在这 $n$ 个观测值的中间位置,并且这 $n$ 个观测值越集中,则 $X$ 的方差应越小.

由于总体为连续型随机变量且分布密度对称时, 总体中位数就是均值. 此时可用样本中位数来估计总体均值, 并用样本极差来估计总体标准差, 即

$$\{\begin{array}{c}\hat{E}\left[X\right]=\tilde{X},\\ \sqrt{\mathrm{Var}\left[X\right]}=R_n^X,\end{array}$$

其中 $\hat{x}$ 表示 $x$ 的估计量,样本中位数 $\tilde{X}$ 和样本极差 $R_n^X$ 的定义参见 6.1 节.

由于对于一般总体, 样本中位数 $\tilde{X}$ 极差 $R_n^X$ 的精确分布难以得到, 从而难以把握其估计的偏差, 用这种方法估计均值和标准差, 只是对总体均值和标准差的一个大概了解, 所以一般少用这种方法.