7.3.3 单个正态总体参数 (mu,sigma2) 的联合区间估计

基于抽样分布基本定理 (见定理 6.3.1) 我们还可以得到正态总体 $N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$ 中参数 $\mu$ 和 ${\sigma }^2$ 的联合区间估计.

事实上, 若

$$P\left(\left|\frac{\bar{X}-\mu }{\sqrt{\frac{{\sigma }^2}{n}}}\right|\le l,k_1\le \frac{n{S}_n^2}{{\sigma }^2}\le k_2\right)=1-\alpha ,$$

由于 $\bar{X}$ 与 $S_n^2$ 独立,则有

$$P\left(\left|\frac{\bar{X}-\mu }{\sqrt{\frac{{\sigma }^2}{n}}}\right|\le l\right)\cdot P\left(k_1\le \frac{n{S}_n^2}{{\sigma }^2}\le k_2\right)=1-\alpha .$$

若令

$$P\left(\left|\frac{\bar{X}-\mu }{\sqrt{\frac{{\sigma }^2}{n}}}\right|\le l\right)=\sqrt{1-\alpha }\text{ 和 }P\left(k_1\le \frac{n{S}_n^2}{{\sigma }^2}\le k_2\right)=\sqrt{1-\alpha },$$

则有

$$P\left(\frac{n{\left(\bar{X}-\mu \right)}^2}{l^2}\le {\sigma }^2\right)=\sqrt{1-\alpha }\text{ 和 }P\left(\frac{n{S}_n^2}{k_2}\le {\sigma }^2\le \frac{n{S}_n^2}{k_1}\right)=\sqrt{1-\alpha }.$$

由于

$$\frac{\bar{X}-\mu }{\sqrt{\frac{{\sigma }^2}{n}}}\sim N\left(0,1\right)\text{ 和 }\frac{n{S}_n^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2\left(n-1\right),$$

可查表得 $l=u_{\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{1-\alpha }\right)},k_1={\chi }_{\frac{1}{2}\left(1-\sqrt{1-\alpha }\right)}^2\left(n-1\right),k_2={\chi }_{\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{1-\alpha }\right)}^2\left(n-1\right)$. 最终我们得到 $\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$ 的置信度为 $1-\alpha$ 联合区间估计,

$$\left\{\left(\mu ,{\sigma }^2\right):\frac{n{\left(\bar{X}-\mu \right)}^2}{u_{\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{1-\alpha }\right)}^2}\le {\sigma }^2,\frac{n{S}_n^2}{{\chi }_{\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{1-\alpha }\right)}^2\left(n-1\right)}\le {\sigma }^2\le \frac{n{S}_n^2}{{\chi }_{\frac{1}{2}\left(1-\sqrt{1-\alpha }\right)}^2\left(n-1\right)}\right\}.$$

该联合区间估计在 $\mu -{\sigma }^2$ 平面上区域如图 7.1 所示 (图中 $\left(n-1\right)S_n^{\ast 2}=n{S}_n^2)$.

图 7.1 正态总体 $\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$ 的联合区间估计示意图.