例 7.1.6 (广州暴雨天数的最大似然估计方法)

据多年观测记录的经验, 每年广州出现暴雨天气的天数服从泊松分布, 试用最大似然法估计广州每年出现暴雨天气的平均天数.

解 由题意设 $X\sim \mathrm{Pois}\left(\lambda \right)$,样本观测值为 $\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$,则 $X$ 的似然函数为

$$L\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n;\lambda \right)=\frac{{\lambda }^{x_1}{\mathrm{e}}^{-\lambda }}{x_1!}\frac{{\lambda }^{x_2}{\mathrm{e}}^{-\lambda }}{x_2!}\cdots \frac{{\lambda }^{x_n}{\mathrm{e}}^{-\lambda }}{x_n!}=\frac{{\mathrm{e}}^{-n\lambda }{\lambda }^{\sum _{i=1}^n{x}_i}}{x_1!x_2!\cdots x_n!}.$$

从而,

$$\ln \left(L\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n;\lambda \right)\right)=-n\lambda +\ln \left(\lambda \right)\cdot \sum _{i=1}^n{x}_i-\ln \left(\prod _{i=1}^n{x}_i!\right).$$

上式两边关于 $\lambda$ 求导数,并令其为 0 得

$$\frac{\partial \ln L}{\partial \lambda }=-n+\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i}{\lambda }=0,$$

即

$$\lambda =\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i}{n}$$

最终得 $\theta$ 的最大似然估计量为

$${\hat{\lambda }}_L=\frac{\sum _{i=1}^n{X}_i}{n}=\bar{X}.$$

也就是,广州每年出现暴雨天气的平均天数的最大似然估计量为 $\bar{X}$.