例 7.2.2 (泊松分布函数的无偏估计量构造示例)

设总体 $X\sim \mathrm{Pois}\left(\lambda \right)$, 参数 $\lambda >0$, $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 为其样本, 则 $T\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)={\left(-2\right)}^{X_1}$ 是 ${\mathrm{e}}^{-3\lambda }$ 的无偏估计量.

事实上,

$$\begin{array}{rl}& E\left[T\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)\right]\\ & =E\left[{\left(-2\right)}^{X_1}\right]\\ & =\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-2\right)}^n\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^n}{n!}\\ & =e^{-\lambda }\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-2\lambda {)}^n}{n!}\\ & =e^{-\lambda }{e}^{-2\lambda }\\ & =e^{-3\lambda }.\end{array}$$

注意到 ${\mathrm{e}}^{-3\lambda }>0$, 但 ${\left(-2\right)}^{X_1}$ 却在 $X_1$ 为奇数时取负值, 可见偏差之大.