例 7.2.2 (泊松分布函数的无偏估计量构造示例)

设总体 $X\sim \mathrm{Pois}\left(\lambda \right)$,参数 $\lambda >0,\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 为其样本,则 $T\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)={\left(-2\right)}^{X_1}$ 是 ${\mathrm{e}}^{-3\lambda }$ 的无偏估计量.

事实上,

$$E\left[T\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)\right]$$ $$=E\left[{\left(-2\right)}^{X_1}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-2\right)}^n\frac{{\mathrm{e}}^{-\lambda }{\lambda }^n}{n!}$$ $$={\mathrm{e}}^{-\lambda }\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\left(-2\lambda \right)}^n}{n!}={\mathrm{e}}^{-\lambda }{\mathrm{e}}^{-2\lambda }$$ $$={\mathrm{e}}^{-3\lambda }\text{.}$$

注意到 ${\mathrm{e}}^{-3\lambda }>0$,但 ${\left(-2\right)}^{X_1}$ 却在 $X_1$ 为奇数时取负值,可见偏差之大.