教案 第八章 假设检验 (共6学时)

第 1 学时

授课主题 假设检验的基本概念与思想

教学要求

1. 理解假设检验的定义、作用和基本思想 (小概率原理)。
2. 掌握原假设 ($H_0$)和备择假设 ($H_1$)的提法。
3. 了解参数假设检验与非参数假设检验的区别。
4. 理解假设检验中的两类错误 (拒真错误$\alpha$，纳伪错误$\beta$)及其关系。
5. 了解显著性水平 ($\alpha$)的意义。

教学内容

1. 引言: 假设检验在统计推断中的地位和实际应用背景。
2. 假设检验的基本思想: 基于“小概率事件在一次试验中几乎不会发生”的原理。
3. 通过例 8.1.1 (正态总体均值检验，${\sigma }^2$ 已知) 初步解释检验过程:
   • 提出假设 $H_0:\mu ={\mu }_0$, $H_1:\mu \ne {\mu }_0$。
   • 构造检验统计量 $U=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sqrt{{\sigma }_0^2/n}}$。
   • 确定拒绝域: $|U|\ge u_{1-\alpha /2}$。
   • 基于样本观测值做出判断 (拒绝或接受 $H_0$)。
4. 假设检验问题的提法 (Section 8.1.1):
   • 参数假设检验: $H_0:\theta \in {\Theta }_0$, $H_1:\theta \in {\Theta }_1$。
   • 非参数假设检验: $H_0:X\sim F_0(\cdot )$, $H_1:X\nsim F_0(\cdot )$。
   • 拒绝域与接受域的概念。
5. 假设检验的两类错误 (Section 8.1.2):
   • 第一类错误 (Type I Error, 拒真错误): $P(\text{拒绝}{H}_0|H_0\text{为真})=\alpha$。
   • 第二类错误 (Type II Error, 纳伪错误): $P(\text{接受}{H}_0|H_0\text{为伪})=\beta$。
   • $\alpha$ 和 $\beta$ 的关系: 样本量 $n$ 固定时，$\alpha$ 减小则 $\beta$ 增大，反之亦然 (结合图 8.1 和 例 8.1.2 说明)。
   • 显著性检验: 控制 $\alpha$，不显式控制 $\beta$ 的检验方法。强调其“保护” $H_0$ 的特点，以及拒绝 $H_0$ 结论的可信度更高。

教学方法与手段

• 讲授法为主，结合实例 (例 8.1.1, 8.1.2)进行讲解。
• PPT 辅助展示概念、公式、图示 (图 8.1)。
• 板书推导关键步骤和总结要点。
• 提问互动，引导学生思考小概率原理和两类错误。

学生参与课堂设计

• 回答教师关于小概率原理应用的提问。
• 尝试根据问题情境提出原假设和备择假设。
• 讨论两类错误在实际问题中的含义和后果。
• 思考显著性检验中“接受$H_0$”的真实含义。

板书设计

• 标题: 8.1 假设检验与两类错误
• 核心思想: 小概率原理
• 假设: 原假设 $H_0$ vs 备择假设 $H_1$ (参数/非参数)
• 检验步骤 (以例8.1.1为例): 假设 → 统计量 → 拒绝域 → 计算 → 结论
• 两类错误:
  • 拒真 (Type I): $\alpha =P(\text{拒}{H}_0|H_0\text{真})$- 显著性水平
  • 纳伪 (Type II): $\beta =P(\text{接}{H}_0|H_0\text{伪})$
  • $\alpha$ 与 $\beta$ 的关系 (示意图)
• 显著性检验: 控制 $\alpha$，保护 $H_0$

思考与练习、习题

• 思考: 为什么在显著性检验中，我们常说“不拒绝 $H_0$” 而不是 “接受 $H_0$”？
• 练习: 尝试为教材中的习题 8.1, 8.2, 8.4, 8.5 设定原假设和备择假设。
• 课后习题: 8.1, 8.2。

时间分配

• (5 min) 复习旧知，引入假设检验。
• (15 min) 讲解假设检验基本思想和步骤 (结合例 8.1.1)。
• (10 min) 讲解假设的提法和拒绝域。
• (10 min) 讲解两类错误、$\alpha$与$\beta$的关系 (结合例 8.1.2)。
• (3 min) 介绍显著性检验。
• (2 min) 小结，布置思考题和作业。

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第二学时

授课主题 单个正态总体均值的假设检验

教学要求

1. 掌握单个正态总体均值 $\mu$ 的假设检验方法 (${\sigma }^2$ 已知和 ${\sigma }^2$ 未知两种情况)。
2. 能够根据不同的备择假设 ($\ne ,>,<$)选择正确的检验统计量和拒绝域。
3. 熟练应用 Z 检验和 t 检验解决实际问题。
4. 理解假设检验与区间估计的联系。
5. 了解 R 软件进行均值检验的基本操作 (可选)。

教学内容

1. 回顾假设检验的基本步骤。
2. 单个正态总体均值的检验 (Section 8.2, 表 8.1):
   • Case 1: ${\sigma }^2$ 已知 (Z 检验)
     • $H_0:\mu ={\mu }_0$, $H_1:\mu \ne {\mu }_0$ ⇒ 检验统计量 $U=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sqrt{{\sigma }^2/n}}$, 拒绝域 $|U|\ge u_{1-\alpha /2}$
     • $H_0:\mu ={\mu }_0$ (或 $\le {\mu }_0$), $H_1:\mu >{\mu }_0$ ⇒ 拒绝域 $U\ge u_{1-\alpha }$
     • $H_0:\mu ={\mu }_0$ (或 $\ge {\mu }_0$), $H_1:\mu <{\mu }_0$ ⇒ 拒绝域 $U\le u_{\alpha }$ (或 $-u_{1-\alpha }$)
     • 结合例 8.2.1 讲解双边检验的应用步骤。
   • Case 2: ${\sigma }^2$ 未知 (t 检验)
     • $H_0:\mu ={\mu }_0$, $H_1:\mu \ne {\mu }_0$ ⇒ 检验统计量 $T=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{S^{\ast }/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$ (其中 $S^{\ast 2}=\frac{1}{n-1}\sum (X_i-\bar{X}{)}^2$), 拒绝域 $|T|\ge t_{1-\alpha /2}(n-1)$
     • $H_0:\mu ={\mu }_0$ (或 $\le {\mu }_0$), $H_1:\mu >{\mu }_0$ ⇒ 拒绝域 $T\ge t_{1-\alpha }(n-1)$
     • $H_0:\mu ={\mu }_0$ (或 $\ge {\mu }_0$), $H_1:\mu <{\mu }_0$ ⇒ 拒绝域 $T\le t_{\alpha }(n-1)$ (或 $-t_{1-\alpha }(n-1)$)
     • 结合例 8.2.2 讲解双边检验的应用步骤。
3. 区间估计与假设检验的联系: 置信水平为 $1-\alpha$ 的 $\mu$ 的双侧置信区间不包含 ${\mu }_0$，等价于在显著性水平 $\alpha$ 下拒绝 $H_0:\mu ={\mu }_0$。
4. (可选) R 软件实现: 介绍 z.test (若包可用) 或手动计算 Z 值，以及 t.test() 函数进行均值检验。

教学方法与手段

• 讲授法结合表格 (表 8.1)归纳总结。
• 例题讲解 (例 8.2.1, 8.2.2)，详细演示计算步骤和查表/软件获取临界值。
• 对比 Z 检验和 t 检验的适用条件和统计量差异。
• (可选) R 软件现场演示。

学生参与课堂设计

• 根据例题数据，分组计算样本均值、检验统计量的值。
• 查找或使用 R 计算相应的临界值 ($u_{\alpha }$ 或 $t_{\alpha }(df)$)。
• 根据计算结果和拒绝域，做出统计判断。
• 讨论单边检验与双边检验的选择依据。

板书设计

• 标题: 8.2 正态总体参数检验 (均值 $\mu$)
• 表 8.1 核心内容:

$H_0$	$H_1$	${\sigma }^2$ 已知 (Z-test)	${\sigma }^2$ 未知 (t-test)
$\mu ={\mu }_0$	$\mu \ne {\mu }_0$	$|U|\ge u_{1-\alpha /2}$	$|T|\ge t_{1-\alpha /2}(n-1)$
$\mu \le {\mu }_0$	$\mu >{\mu }_0$	$U\ge u_{1-\alpha }$	$T\ge t_{1-\alpha }(n-1)$
$\mu \ge {\mu }_0$	$\mu <{\mu }_0$	$U\le u_{\alpha }$	$T\le t_{\alpha }(n-1)$

• 统计量公式: $U=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sqrt{{\sigma }^2/n}}$, $T=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{S^{\ast }/\sqrt{n}}$
• 例 8.2.1 (Z检验) 步骤: $H_0/H_1$→ $\alpha$→ 统计量 $U$→ 拒绝域 → 计算 $u$→ 判断
• 例 8.2.2 (t检验) 步骤: $H_0/H_1$→ $\alpha$→ 统计量 $T$→ 拒绝域 → 计算 $t$→ 判断
• 检验与区间估计的联系

思考与练习、习题

• 思考: 在例 8.2.2 中，如果备择假设是 $H_1:\mu >112.6$，拒绝域应如何改变？结论会变吗？
• 练习: 教材习题 8.4 (${\sigma }^2$ 已知，单边)、8.5 (${\sigma }^2$ 未知，双边)。
• 课后习题: 8.4, 8.5, 8.8(1)。

时间分配

• (5 min) 复习上节课内容，引入正态总体参数检验。
• (15 min) 讲解 ${\sigma }^2$ 已知时 $\mu$ 的检验 (Z-test, 表 8.1, 例 8.2.1)。
• (15 min) 讲解 ${\sigma }^2$ 未知时 $\mu$ 的检验 (t-test, 表 8.1, 例 8.2.2)。
• (5 min) 讨论区间估计与假设检验的联系。
• (3 min) (可选) R 软件演示 t.test。
• (2 min) 小结，布置思考题和作业。

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第三学时

授课主题 单个正态总体方差与两个独立正态总体均值差的检验

教学要求

1. 掌握单个正态总体方差 ${\sigma }^2$ 的假设检验方法 ($\mu$ 已知和 $\mu$ 未知两种情况)。
2. 掌握 ${\chi }^2$ 检验及其应用。
3. 掌握两个独立正态总体均值差 ${\mu }_1-{\mu }_2$ 的假设检验方法 (${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$ 已知和 ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$ 但未知两种情况)。
4. 熟练应用 Z 检验和合并方差 t 检验解决实际问题。

教学内容

1. 单个正态总体方差 ${\sigma }^2$ 的检验 (Section 8.2, 表 8.2):
   • Case 1: $\mu$ 已知
     • $H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2$, $H_1:{\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$ ⇒ 检验统计量 ${\chi }^2=\frac{\sum (X_i-\mu {)}^2}{{\sigma }_0^2}\sim {\chi }^2(n)$, 拒绝域 ${\chi }^2\le {\chi }_{\alpha /2}^2(n)$ 或 ${\chi }^2\ge {\chi }_{1-\alpha /2}^2(n)$
     • $H_0:{\sigma }^2\le {\sigma }_0^2$, $H_1:{\sigma }^2>{\sigma }_0^2$ ⇒ 拒绝域 ${\chi }^2\ge {\chi }_{1-\alpha }^2(n)$
     • $H_0:{\sigma }^2\ge {\sigma }_0^2$, $H_1:{\sigma }^2<{\sigma }_0^2$ ⇒ 拒绝域 ${\chi }^2\le {\chi }_{\alpha }^2(n)$
     • 结合例 8.2.3 讲解双边检验的应用步骤。
   • Case 2: $\mu$ 未知
     • $H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2$, $H_1:{\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$ ⇒ 检验统计量 ${\chi }^2=\frac{(n-1)S^{\ast 2}}{{\sigma }_0^2}\sim {\chi }^2(n-1)$, 拒绝域 ${\chi }^2\le {\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)$ 或 ${\chi }^2\ge {\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)$
     • $H_0:{\sigma }^2\le {\sigma }_0^2$, $H_1:{\sigma }^2>{\sigma }_0^2$ ⇒ 拒绝域 ${\chi }^2\ge {\chi }_{1-\alpha }^2(n-1)$
     • $H_0:{\sigma }^2\ge {\sigma }_0^2$, $H_1:{\sigma }^2<{\sigma }_0^2$ ⇒ 拒绝域 ${\chi }^2\le {\chi }_{\alpha }^2(n-1)$
     • 结合例 8.2.4 讲解双边检验的应用步骤。
2. 两个独立正态总体均值差 ${\mu }_1-{\mu }_2$ 的检验 (Section 8.2, 表 8.3):
   • Case 1: ${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$ 已知 (Z 检验)
     • $H_0:{\mu }_1-{\mu }_2=\delta$, $H_1:{\mu }_1-{\mu }_2\ne \delta$ ⇒ 检验统计量 $U=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-\delta }{\sqrt{{\sigma }_1^2/m+{\sigma }_2^2/n}}$, 拒绝域 $|U|\ge u_{1-\alpha /2}$
     • 单边检验类似处理。
     • 结合例 8.2.5 讲解双边检验的应用步骤 ($\delta =0$)。
   • Case 2: ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2={\sigma }^2$ 未知 (合并方差 t 检验)
     • 合并样本方差 $S_w^2=\frac{(m-1)S_1^{\ast 2}+(n-1)S_2^{\ast 2}}{m+n-2}$
     • $H_0:{\mu }_1-{\mu }_2=\delta$, $H_1:{\mu }_1-{\mu }_2\ne \delta$ ⇒ 检验统计量 $T=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-\delta }{S_w\sqrt{1/m+1/n}}\sim t(m+n-2)$, 拒绝域 $|T|\ge t_{1-\alpha /2}(m+n-2)$
     • 单边检验类似处理。
     • 结合例 8.2.6 讲解双边检验的应用步骤 ($\delta =0$)。
     • 强调方差齐性 (${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$) 的前提假设。

教学方法与手段

• 讲授法结合表格 (表 8.2, 表 8.3)归纳总结。
• 例题讲解 (例 8.2.3, 8.2.4, 8.2.5, 8.2.6)，详细演示计算步骤和查表/软件获取临界值。
• 对比 $\mu$ 已知/未知时方差检验的自由度差异。
• 对比 ${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$ 已知/未知但相等时均值差检验的方法差异。
• (可选) R 软件 var.test (用于方差检验，但这里是 ${\chi }^2$ 检验) 和 t.test(..., var.equal=TRUE)。

学生参与课堂设计

• 根据例题数据，计算样本方差或合并样本方差。
• 计算 ${\chi }^2$ 统计量或 $T$ 统计量的值。
• 查找 ${\chi }^2$ 分布或 t 分布的临界值。
• 根据结果做出统计判断。
• 讨论何时使用合并方差 t 检验。

板书设计

• 标题: 8.2 正态总体参数检验 (续)
• 1. 方差 ${\sigma }^2$ 检验 (表 8.2 核心)
  • $\mu$ 已知: ${\chi }^2=\frac{\sum (X_i-\mu {)}^2}{{\sigma }_0^2}\sim {\chi }^2(n)$
  • $\mu$ 未知: ${\chi }^2=\frac{(n-1)S^{\ast 2}}{{\sigma }_0^2}\sim {\chi }^2(n-1)$
  • 拒绝域 (双边/单边)
  • 例 8.2.3 ($\mu$已知), 例 8.2.4 ($\mu$未知) 步骤
• 2. 均值差 ${\mu }_1-{\mu }_2$ 检验 (表 8.3 核心)
  • ${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$ 已知: $U=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-\delta }{\sqrt{{\sigma }_1^2/m+{\sigma }_2^2/n}}\sim N(0,1)$
  • ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2={\sigma }^2$ 未知: $T=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-\delta }{S_w\sqrt{1/m+1/n}}\sim t(m+n-2)$
  • $S_w^2=\frac{(m-1)S_1^{\ast 2}+(n-1)S_2^{\ast 2}}{m+n-2}$ 公式
  • 拒绝域 (双边/单边)
  • 例 8.2.5 (Z检验), 例 8.2.6 (t检验) 步骤

思考与练习、习题

• 思考: 如果例 8.2.6 中不假设方差相等，应该使用什么检验？ (引出下一讲内容)
• 练习: 教材习题 8.6 (方差检验，$\mu$ 未知，双边), 8.7 (方差检验，$\mu$ 未知，单边), 8.9 (均值差检验，方差已知)。
• 课后习题: 8.6, 8.7, 8.8(2), 8.9, 8.10 (均值差检验，方差未知但相等)。

时间分配

• (5 min) 复习上节课内容。
• (15 min) 讲解单个总体方差的检验 (表 8.2, 例 8.2.3, 8.2.4)。
• (15 min) 讲解两个总体均值差的检验 (表 8.3, 例 8.2.5, 8.2.6)。
• (8 min) 课堂练习与讨论。
• (2 min) 小结，布置思考题和作业。

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第四学时

授课主题 两个独立正态总体方差比的检验与非正态总体均值的近似检验

教学要求

1. 掌握两个独立正态总体方差比 ${\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2$ 的假设检验方法 (F 检验)，包括 ${\mu }_1,{\mu }_2$ 已知和未知两种情况。
2. 熟悉 F 分布及其应用。
3. 了解当总体非正态但样本容量较大时，如何对总体均值或均值差进行近似检验 (中心极限定理的应用)。

教学内容

1. 两个独立正态总体方差比 ${\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2$ 的检验 (Section 8.2, 表 8.4, 方差齐性检验):
   • Case 1: ${\mu }_1,{\mu }_2$ 已知
     • $H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$, $H_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$ ⇒ 检验统计量 $F=\frac{\sum (X_i-{\mu }_1{)}^2/m}{\sum (Y_j-{\mu }_2{)}^2/n}\sim F(m,n)$
     • 拒绝域: $F\le F_{\alpha /2}(m,n)$ 或 $F\ge F_{1-\alpha /2}(m,n)$
     • $H_0:{\sigma }_1^2\le {\sigma }_2^2$, $H_1:{\sigma }_1^2>{\sigma }_2^2$ ⇒ 拒绝域 $F\ge F_{1-\alpha }(m,n)$
     • $H_0:{\sigma }_1^2\ge {\sigma }_2^2$, $H_1:{\sigma }_1^2<{\sigma }_2^2$ ⇒ 拒绝域 $F\le F_{\alpha }(m,n)$
     • 结合例 8.2.7 讲解双边检验的应用步骤。
   • Case 2: ${\mu }_1,{\mu }_2$ 未知
     • $H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$, $H_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$ ⇒ 检验统计量 $F=S_1^{\ast 2}/S_2^{\ast 2}\sim F(m-1,n-1)$
     • 拒绝域: $F\le F_{\alpha /2}(m-1,n-1)$ 或 $F\ge F_{1-\alpha /2}(m-1,n-1)$
     • $H_0:{\sigma }_1^2\le {\sigma }_2^2$, $H_1:{\sigma }_1^2>{\sigma }_2^2$ ⇒ 拒绝域 $F\ge F_{1-\alpha }(m-1,n-1)$
     • $H_0:{\sigma }_1^2\ge {\sigma }_2^2$, $H_1:{\sigma }_1^2<{\sigma }_2^2$ ⇒ 拒绝域 $F\le F_{\alpha }(m-1,n-1)$
     • 结合例 8.2.8 讲解双边检验的应用步骤。
     • 强调此检验常作为两样本 t 检验的前提 (判断方差是否齐性)。
2. 非正态总体均值的假设检验 (Section 8.3, 大样本近似):
   • 单个总体均值 $E[X]$:
     • 若 $\mathrm{Var}[X]$ 已知，n 充分大 ($n\ge 30$)，$U=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)/n}}\approx N(0,1)$。
     • 若 $\mathrm{Var}[X]$ 未知，n 充分大 ($n\ge 30$)，$U=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{S^{\ast }/\sqrt{n}}\approx N(0,1)$。
     • 检验方法同正态 Z 检验。
   • 两个总体均值差 $E[X]-E[Y]$:
     • 若 $\mathrm{Var}[X],\mathrm{Var}[Y]$ 已知，m, n 充分大，$U=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-\delta }{\sqrt{\mathrm{Var}(X)/m+\mathrm{Var}(Y)/n}}\approx N(0,1)$。
     • 若 $\mathrm{Var}[X],\mathrm{Var}[Y]$ 未知，m, n 充分大，$U=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-\delta }{\sqrt{S_1^{\ast 2}/m+S_2^{\ast 2}/n}}\approx N(0,1)$。
     • 检验方法同正态 Z 检验。
   • 强调这是基于中心极限定理的近似方法。

教学方法与手段

• 讲授法结合表格 (表 8.4)归纳总结。
• 例题讲解 (例 8.2.7, 8.2.8)，详细演示计算步骤和查 F 分布表/软件获取临界值。
• 对比 ${\mu }_1,{\mu }_2$ 已知/未知时方差比检验的自由度差异。
• 讲解 F 检验在统计推断中的作用 (方差齐性检验)。
• 介绍中心极限定理在假设检验中的应用，强调大样本条件。

学生参与课堂设计

• 根据例题数据，计算样本方差或修正样本方差。
• 计算 F 统计量的值。
• 查找 F 分布的临界值 (注意分子分母自由度)。
• 根据结果做出统计判断。
• 讨论何时可以使用大样本近似 Z 检验。

板书设计

• 标题: 8.2 (续) & 8.3 非正态总体均值检验
• 1. 方差比 ${\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2$ 检验 (表 8.4 核心，F-test)
  • ${\mu }_1,{\mu }_2$ 已知: $F=\frac{\sum (X_i-{\mu }_1{)}^2/m}{\sum (Y_j-{\mu }_2{)}^2/n}\sim F(m,n)$
  • ${\mu }_1,{\mu }_2$ 未知: $F=S_1^{\ast 2}/S_2^{\ast 2}\sim F(m-1,n-1)$
  • 拒绝域 (双边/单边，注意 F 分布不对称性)
  • 例 8.2.7 ($\mu$已知), 例 8.2.8 ($\mu$未知) 步骤
  • 应用: 方差齐性检验
• 2. 8.3 非正态总体均值 (大样本 $n\ge 30$)
  • 单个均值: $U=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)/n}}\approx N(0,1)$ (Var已知) 或 $U=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{S^{\ast }/\sqrt{n}}\approx N(0,1)$ (Var未知)
  • 均值差: $U=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-\delta }{\sqrt{\mathrm{Var}(X)/m+\mathrm{Var}(Y)/n}}\approx N(0,1)$ (Var已知) 或 $U=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-\delta }{\sqrt{S_1^{\ast 2}/m+S_2^{\ast 2}/n}}\approx N(0,1)$ (Var未知)
  • 方法: 同 Z 检验
  • 理论基础: 中心极限定理

思考与练习、习题

• 思考: F 分布表通常只给右侧分位数，如何查找左侧分位数 $F_{\alpha }(df1,df2)$？ (利用 $F_{\alpha }(df1,df2)=1/F_{1-\alpha }(df2,df1)$)
• 练习: 教材习题 8.11 (均值差，方差未知相等，单边)，8.12 (均值差，(1)方差已知, (2)方差未知相等，单边)， 8.14 (方差比检验，$\mu$ 未知，双边)。
• 课后习题: 8.11, 8.12, 8.14, 8.15 (方差比检验，$\mu$ 未知，单边)。

时间分配

• (5 min) 复习上节课内容，引入方差比检验。
• (15 min) 讲解两个总体方差比的检验 (表 8.4, 例 8.2.7, 8.2.8)。
• (10 min) 讨论 F 检验的应用和分位数查找。
• (10 min) 讲解非正态总体均值的大样本近似检验 (Section 8.3)。
• (5 min) 课堂练习与讨论。
• (2 min) 小结，布置思考题和作业。

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第五学时

授课主题 非参数检验: ${\chi }^2$ 拟合优度检验 (多项分布与一般分布)

教学要求

1. 理解拟合优度检验的目的: 检验观测频数与理论频数 (或期望频数)是否吻合。
2. 掌握多项分布的 ${\chi }^2$ 拟合优度检验方法。
3. 掌握一般总体分布的 ${\chi }^2$ 拟合优度检验方法 (参数未知时需要估计)。
4. 理解 ${\chi }^2$ 统计量的构造思想和自由度的确定。
5. 能够应用 ${\chi }^2$ 拟合优度检验解决实际问题。

教学内容

1. 引入非参数检验: 当总体分布未知或不满足参数检验条件时使用。
2. 拟合优度检验的基本思想: 比较观测频数 ($O$) 与期望频数 ($E$)。
3. 多项分布的 ${\chi }^2$ 拟合检验 (Section 8.4.1):
   • 问题: 检验 $H_0:p_i=p_i^0(i=1,...,k)$ vs $H_1:H_0\text{ 不成立}$。
   • 数据: 观测频数 ${\nu }_1,{\nu }_2,...,{\nu }_k$ ($\sum {\nu }_i=n$)。
   • 期望频数: $E_i=n{p}_i^0$。
   • 检验统计量: $K={\sum }_{i=1}^k\frac{({\nu }_i-E_i{)}^2}{E_i}={\sum }_{i=1}^k\frac{({\nu }_i-n{p}_i^0{)}^2}{n{p}_i^0}$。
   • 近似分布: 当 $n$ 较大且所有 $E_i$ 不太小 (通常 $E_i\ge 5$) 时，$K\approx {\chi }^2(k-1)$。
   • 拒绝域: $K\ge {\chi }_{1-\alpha }^2(k-1)$。
   • 结合例 8.4.1 讲解应用步骤。
4. 一般分布的 ${\chi }^2$ 拟合检验 (Section 8.4.2):
   • 问题: 检验 $H_0:X\sim F_0(\cdot ;{\theta }_1,...,{\theta }_r)$ vs $H_1:H_0\text{ 不成立}$。
   • 步骤:
     • 将样本观测值的范围分成 $k$ 个互不相交的区间。
     • 统计落入每个区间的观测频数 ${\nu }_i$ ($O_i$)。
     • 如果参数 ${\theta }_1,...,{\theta }_r$ 已知 计算每个区间的理论概率 $p_i^0=P(X\text{ 落入第 }i\text{ 区间 }|H_0)$，期望频数 $E_i=n{p}_i^0$。统计量 $K={\sum }_{i=1}^k\frac{({\nu }_i-E_i{)}^2}{E_i}\approx {\chi }^2(k-1)$。
     • 如果参数 ${\theta }_1,...,{\theta }_r$ 未知 ($r$ 个未知参数)
       • 用最大似然法估计参数得到 ${\hat{\theta }}_1,...,{\hat{\theta }}_r$。
       • 计算估计的理论概率 ${\hat{p}}_i^0=P(X\text{ 落入第 }i\text{ 区间 }|H_0,\theta =\hat{\theta })$。
       • 计算估计的期望频数 ${\hat{E}}_i=n{\hat{p}}_i^0$。
       • 检验统计量: $\hat{K}={\sum }_{i=1}^k\frac{({\nu }_i-{\hat{E}}_i{)}^2}{{\hat{E}}_i}$。
       • 近似分布: 当 $n$ 较大且所有 ${\hat{E}}_i$ 不太小 (通常 ${\hat{E}}_i\ge 5$) 时，$\hat{K}\approx {\chi }^2(k-r-1)$。 (自由度减少 $r$)
   • 拒绝域: $\hat{K}\ge {\chi }_{1-\alpha }^2(k-r-1)$。
   • 结合例 8.4.2 (检验正态分布) 讲解应用步骤，强调参数估计和自由度计算。

教学方法与手段

• 讲授法结合实例 (例 8.4.1, 8.4.2)进行讲解。
• 强调 ${\chi }^2$ 统计量的构造逻辑 (观测与期望的加权平方差)。
• 对比多项分布和一般分布检验在计算期望频数和自由度上的异同。
• (可选) R 软件演示 chisq.test() 函数。

学生参与课堂设计

• 根据例题数据，计算期望频数。
• 计算 ${\chi }^2$ 统计量的值。
• 确定自由度。
• 查找 ${\chi }^2$ 分布临界值并做出判断。
• 讨论区间划分和合并对检验结果的影响 (确保 $E_i\ge 5$ 或 ${\hat{E}}_i\ge 5$)。

板书设计

• 标题: 8.4 非参数检验: ${\chi }^2$ 拟合优度检验
• 1. 基本思想: 比较观测频数 $O_i({\nu }_i)$ 与 期望频数 $E_i$。
• 2. ${\chi }^2$ 统计量: $K=\sum \frac{(O_i-E_i{)}^2}{E_i}$
• 3. 多项分布检验 ($H_0:p_i=p_i^0$)
  • $E_i=n{p}_i^0$
  • $K\approx {\chi }^2(k-1)$
  • 拒绝域: $K\ge {\chi }_{1-\alpha }^2(k-1)$
  • 例 8.4.1 步骤
• 4. 一般分布检验 ($H_0:X\sim F_0(\theta )$)
  • 划分 $k$ 个区间
  • 参数已知: $E_i=n{p}_i^0$, $K\approx {\chi }^2(k-1)$
  • 参数未知 ($r$个): 估计 $\hat{\theta }$→ ${\hat{p}}_i^0$→ ${\hat{E}}_i=n{\hat{p}}_i^0$, $\hat{K}=\sum \frac{(O_i-{\hat{E}}_i{)}^2}{{\hat{E}}_i}\approx {\chi }^2(k-r-1)$
  • 拒绝域: $\hat{K}\ge {\chi }_{1-\alpha }^2(k-r-1)$
  • 例 8.4.2 步骤 ($r=2,k=6,df=k-r-1=3$)
• 注意: 要求 $n$ 较大，$E_i\ge 5$ (必要时合并组)

思考与练习、习题

• 思考: 在例 8.4.2 中，如果我们将区间划分为 8 个，自由度会是多少？这对检验结果可能有何影响？
• 思考: 为什么参数未知时自由度要减去未知参数的个数 $r$？
• 练习: 教材习题 8.17 (多项分布检验)，8.18 (一般分布检验，参数已知)。
• 课后习题: 8.17, 8.18。

时间分配

• (5 min) 复习参数检验，引入非参数检验和拟合优度问题。
• (15 min) 讲解多项分布的 ${\chi }^2$ 检验 (Section 8.4.1, 例 8.4.1)。
• (15 min) 讲解一般分布的 ${\chi }^2$ 检验 (Section 8.4.2)，区分参数已知/未知情况。
• (8 min) 重点讲解例 8.4.2 的参数估计和自由度计算。
• (2 min) 小结，布置思考题和作业。

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第六学时

授课主题 假设检验总结、选择与综合应用

教学要求

1. 系统回顾本章介绍的各种假设检验方法及其适用条件。
2. 能够根据实际问题选择合适的检验方法。
3. 理解假设检验中 $p$ 值的概念及其解释。
4. 综合应用所学知识解决更复杂的检验问题。
5. 进一步理解假设检验的逻辑和局限性。

教学内容

1. 本章内容回顾与总结 (Section 8.5 小结与注记)
   • 假设检验基本流程: 提假设 → 定 $\alpha$→ 选统计量 → 定拒绝域 → 计算 → 做判断。
   • 两类错误与显著性检验的意义与局限。
   • 参数检验 (正态总体):
     • 单样本 Z/t 检验 (均值)
     • 单样本 ${\chi }^2$ 检验 (方差)
     • 双样本 Z/t 检验 (均值差，分方差已知/未知但相等)
     • 双样本 F 检验 (方差比)
   • 参数检验 (大样本近似): Z 检验 (均值/均值差)。
   • 非参数检验: ${\chi }^2$ 拟合优度检验 (多项分布/一般分布)。
2. 检验方法的选择
   • 判断问题类型: 关于均值、方差、比例还是分布拟合？
   • 判断总体分布: 是否正态？ (可用 ${\chi }^2$ 检验或更专业的正态性检验判断)
   • 判断样本量: 大样本还是小样本？
   • 判断参数情况: 总体方差已知还是未知？两总体方差是否相等？
   • 根据上述判断选择合适的检验统计量和分布 (Z, t, ${\chi }^2$, F)。
3. $p$ 值 ($p$-value) 的概念与解释
   • 定义: 在原假设 $H_0$ 为真的前提下，获得现有样本观测结果或更极端结果的概率。
   • 决策规则: 若 $p\le \alpha$，则在显著性水平 $\alpha$ 下拒绝 $H_0$；若 $p>\alpha$，则不拒绝 $H_0$。
   • $p$ 值的优点: 提供了反对 $H_0$ 的证据强度，不仅仅是“拒绝/不拒绝”的二元结论。很多软件直接输出 $p$ 值。
   • 结合一个简单例子 (如 t 检验)说明如何计算或理解 $p$ 值。
4. 综合应用与讨论
   • 选择一个稍复杂的习题 (如 8.13 配对样本 t 检验，或 8.16 先做 F 检验再做 t 检验)进行分析和求解。
   • 讨论配对样本检验与独立样本检验的区别 (习题 8.13 的数据本质是配对的，应分析差值)。
   • 讨论多重检验问题 (如果同时进行很多检验，犯第一类错误的累积概率会增大)。
   • 再次强调假设检验结论的概率性和可能犯错的风险。

教学方法与手段

• 归纳总结法，梳理本章知识体系。
• 流程图或决策树形式辅助展示检验方法的选择过程。
• 讲解 $p$ 值的概念和应用。
• 案例分析法，选取综合性习题进行讲解和讨论。
• 课堂讨论，鼓励学生思考检验方法的选择和结果解释。

学生参与课堂设计

• 参与课堂讨论，总结不同检验方法的特点和适用条件。
• 尝试根据问题描述选择合适的检验方法。
• 理解 $p$ 值的计算 (或软件输出)并用其做出判断。
• 分析综合应用案例，参与解题过程。
• 提出自己在学习和应用假设检验中遇到的问题。

板书设计

• 标题: 第八章 假设检验总结与应用
• 1. 知识结构回顾 (思维导图或列表):
  • 基本概念 ($H_0/H_1,\alpha /\beta$, 拒绝域)
  • 参数检验 (正态 $Z$, $t$, ${\chi }^2$, $F$；大样本 $Z$) → 条件
  • 非参数检验 (${\chi }^2$ 拟合) → 条件
• 2. 检验方法选择流程 (决策树示意):
  • 问题类型？ → 总体分布？ → 样本量？ → 参数情况？ → 选择方法
• 3. $p$ 值:
  • 定义: $P(\text{观察到结果或更极端}|H_0\text{ 为真})$
  • 决策: $p\le \alpha$ ⇒ 拒绝 $H_0$；$p>\alpha$ ⇒ 不拒绝 $H_0$
  • 意义: 反对 $H_0$ 的证据强度
• 4. 综合案例分析 (例: 习题 8.13 或 8.16)
  • 问题识别 → 方法选择 → 计算 → 结论解释
• 5. 注意事项: 配对 vs 独立，多重检验风险

思考与练习、习题

• 思考: 假设检验的 $p$ 值为 0.04，在 $\alpha =0.05$ 和 $\alpha =0.01$ 水平下分别应做出什么结论？这说明了什么？
• 思考: 实际研究中，如何判断样本是否来自正态总体？ (引出正态性检验，如 Shapiro-Wilk test，或 ${\chi }^2$ 拟合检验的应用)
• 练习: 回顾并完成之前未解决的习题，特别是 8.13 (配对样本检验，转化为单样本 t 检验), 8.16 (先 F 检验，再根据结果选择 t 检验)。
• 课后复习: 整理本章笔记，形成知识网络。

时间分配

• (15 min) 本章内容系统回顾与总结。
• (10 min) 讲解检验方法的选择思路。
• (10 min) 讲解 $p$ 值的概念、计算与应用。
• (10 min) 综合案例分析与讨论。
• (3 min) 强调注意事项与学习建议。
• (2 min) 答疑与课程总结。