8.3 非正态总体均值的假设检验

上节我们曾指出, 对于非正态总体参数的假设检验, 一般只能利用近似分布给出拒绝域,此时样本容量 $n$ 应比较大 (至少要求 $n\ge 30$ ).

由于有了近似分布, 拒绝域的构造方法与正态总体有关参数假设检验拒绝域的构造方法完全雷同, 所以我们只给出有关检验问题用到的近似分布 (有关统计量的记号见表 7.1).

1. 单个总体 $X$ 的均值 $E\left[X\right]$ 的假设检验问题:
   • $H_0:E\left[X\right]={\mu }_0\left(\text{ 或 }\le {\mu }_0,\text{ 或 }\ge {\mu }_0\right)$,
   • $H_1:E\left[X\right]\ne {\mu }_0\left(\text{ 或 }>{\mu }_0,\text{ 或 }<{\mu }_0\right)$.
   • 若方差 $\mathrm{Var}\left[X\right]$ 已知, 当 $n$ 充分大时, 近似地有 $\frac{\bar{X}-E\left[X\right]}{\sqrt{\mathrm{Var}\left[X\right]/n}}\sim N\left(0,1\right).$
   • 若方差 $\mathrm{Var}\left[X\right]$ 未知,当 $n$ 充分大时,近似地有 $\frac{\bar{X}-E\left[X\right]}{S_n/\sqrt{n}}\sim N\left(0,1\right)$
2. 两个总体 $X$ 和 $Y$ 的均值差 $E\left[X\right]-E\left[Y\right]$ 的假设检验问题:
   • $H_0:E\left[X\right]-E\left[Y\right]=\delta \left(\text{ 或 }\le \delta \text{,或 }\ge \delta \right)$
   • $H_1:E\left[X\right]-E\left[Y\right]=\delta \left(\text{ 或 }>\delta \text{,或 }<\delta \right).$
   • 若方差 $\mathrm{Var}\left[X\right]$ 和 $\mathrm{Var}\left[Y\right]$ 已知,当 $m$ 和 $n$ 充分大时, 近似地有 $\frac{\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)-\left(E\left[X\right]-E\left[Y\right]\right)}{\sqrt{\mathrm{Var}\left[X\right]/m+\mathrm{Var}\left[Y\right]/n}}\sim N\left(0,1\right).$
   • 若方差 $\mathrm{Var}\left[X\right]$ 和 $\mathrm{Var}\left[Y\right]$ 未知,当 $m$ 和 $n$ 充分大时, 近似地有 $\frac{\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)-\left(E\left[X\right]-E\left[Y\right]\right)}{\sqrt{S_{1m}^2/m+S_{2n}^2/n}}\sim N\left(0,1\right).$