8.4.1 多项分布的 chi2 拟合检验

设总体 $X$ 服从多项分布

X	$a_1$	$a_2$	$\dots$	$a_k$
$P$	$p_1$	$p_2$	$\dots$	$p_k$

我们的任务是对如下假设检验问题 (I) 作显著性检验:

• $H_0:p_i=p_i^0\left(i=1,2,\cdots ,k\right)$,
• $H_1:p_i=p_i^0$ 不全成立 $\left(i=1,2,\cdots ,k\right)$, 其中 $p_i^0\left(i=1,2,\cdots ,k\right)$ 已知.

直观上, 若从样本 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 出发, 我们统计出其中 $a_i$ 出现了 ${\nu }_i$ 次, $i=1,2,\cdots ,k$. 如果原假设 $H_0$ 成立, 那么根据 “事件发生的频率稳定于概率” 的事实, 应有 ${\nu }_i/n$ 接近于 $p_i^0\left(i=1,2,\cdots ,k\right)$, 从而应有 $\sum _{i=1}^k{\left(\frac{{\nu }_i}{n}-p_i^0\right)}^2$ 应比较小. 也就是说,若 $\sum _{i=1}^k{\left(\frac{{\nu }_i}{n}-p_i^0\right)}^2$ 比较大, 就应当拒绝原假设 $H_0$.

为了得到近似分布, 皮尔逊 (Pearson) 构造了统计量

$$K=\sum _{i=1}^k{\left(\frac{{\nu }_i}{n}-p_i^0\right)}^2\cdot \frac{n}{p_i^0}=\sum _{i=1}^k\frac{{\left({\nu }_i-n{p}_i^0\right)}^2}{n{p}_i^0},$$

并证明了, 当 $n$ 充分大时, 近似地有

$$K=\sum _{i=1}^k\frac{{\left({\nu }_i-n{p}_i^0\right)}^2}{n{p}_i^0}\sim {\chi }^2\left(k-1\right).\text{\hspace{1em}(8.4.1)}$$

由于 $n$ 和 $p_i^0\left(i=1,2,\cdots ,k\right)$ 都为常数, 根据以上分析, 当 $K$ 较大时应拒绝原假设 $H_0$. 所以, 假设检验问题 (I) 的显著性水平为 $\alpha$ 的拒绝域为

$$K=\sum _{i=1}^k\frac{{\left({\nu }_i-n{p}_i^0\right)}^2}{n{p}_i^0}\ge {\chi }_{1-\alpha }^2\left(k-1\right).\text{\hspace{1em}(8.4.2)}$$

• 例 8.4.1 检验机床故障次数是否与机床质量有关 (拟合优度检验)