例 8.4.2

从维尼纶正常生产线上测得 100 个维尼纶纤度 (表示维尼纶粗细程度的一个量) 数据: 试问可否认为该生产线维尼纶纤度为正态分布. (显著性水平 $\alpha =0.10$ )?

1.36	1.49	1.43	1.41	1.37	1.40	1.32	1.42	1.47	1.39
1.41	1.36	1.40	1.34	1.42	1.42	1.45	1.35	1.42	1.39
1.44	1.42	1.39	1.42	1.42	1.30	1.34	1.42	1.37	1.36
1.37	1.34	1.37	1.37	1.44	1.45	1.32	1.48	1.40	1.45
1.39	1.46	1.39	1.53	1.36	1.48	1.40	1.39	1.38	1.40
1.36	1.45	1.50	1.43	1.38	1.43	1.41	1.48	1.39	1.46
1.37	1.37	1.39	1.45	1.31	1.41	1.44	1.44	1.42	1.47
1.35	1.36	1.39	1.40	1.38	1.35	1.42	1.43	1.42	1.42
1.42	1.40	1.41	1.37	1.46	1.36	1.37	1.27	1.37	1.38
1.42	1.34	1.43	1.42	1.41	1.41	1.44	1.48	1.55	1.37

解

记维尼纶纤度为 $X$,则问题可归结为检验下面假设.

$$H_0:X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right),H_1:X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right).$$

若 $H_0$ 成立,则 $\mu$ 和 ${\sigma }^2$ 的最大似然估计分别为样本均值 $\bar{X}$ 和样本方差 $S^2$ 田效据计算得估计值分别为 $\hat{\mu }=1.4043$ 和 $\widehat{{\sigma }^2}=0.002269\left(\hat{\sigma }=0.0476\right)$

田具体 100 个数据取值的范围和分布特点, 将数据以组距为 0.03 分为 6 个区间, 并用估计参数查正态分布表得到概率值

$${\hat{p}}_i=P\left(a_{i-1}<X\le a_i\right)=\Phi \left(\frac{a_i-\hat{\mu }}{\hat{\sigma }}\right)-\Phi \left(\frac{a_{i-1}-\hat{\mu }}{\hat{\sigma }}\right),$$

并统计数据落在各区间的频数得到: $2-1)=6.2514$.

区间 $\left(a_{i-1},a_i\right]$	频数 $\left({\nu }_i\right)$	估计概率 ${\hat{p}}_i$
$(-\infty ,1.355]$	12	0.1446
$(1.355,1.385]$	22	0.1854
$(1.385,1.415]$	23	0.2453
$(1.415,1.445]$	25	0.2157
$(1.445,1.475]$	10	0.1326
$\left(1.475,+\infty \right)$	8	0.0764

因为 $\hat{K}=2.4713<6.2514={\chi }_{0.90}^2\left(3\right)$,所以在显著性水平 0.10 下接受 $H_0$ 即可以认为维尼纶纤度服从正态分布 $N\left(1.4043,{0.0476}^2\right)$.

代码

另外,请读者执行如下 $\mathrm{R}$ 程序,看有什么结果.

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														$\mathrm{x} <  - \mathrm{c}({1.36},{1.49},{1.43},{1.41},{1.37},{1.40},{1.32},{1.42},{1.47},{1.39},{1.41},{1.36}$.

														1.40,1.34,1.42,1.42,1.45,1.35,

													1.42,1.39,1.44,1.42,1.39,1.42,1.42,1.30,1.34,1.42,1.37,1.36,1.37.

													1.34,1.37,1.37,1.44,1.45,1.32,

									1.48,1.40,1.45,1.39,1.46,1.39,1.53,1.36,1.48,1.40,1.39,1.38,1.40.

											1.36,1.45,1.50,1.43,1.38,1.43,

							1.41,1.48,1.39,1.46,1.37,1.37,1.39,1.45,1.31,1.41,1.44,1.44,1.42.

							1.47,1.35,1.36,1.39,1.40,1.38,

						1.35,1.42,1.43,1.42,1.42,1.42,1.40,1.41,1.37,1.46,1.36,1.37,1.27.

					${1.37},{1.38},{1.42},{1.34},{1.43},{1.42},{1.41},{1.41},{1.44},{1.48},{1.55},{1.37})$

			$r <  - 2$

		alpha $<  - {0.1}$

	$m <  - {length}\left( x\right)$

mu.hat<-mean(x); sig.hat<-sd(x)*sqrt((m-1)/m)

a←c(-Inf,1.355,1.385,1.415,1.445,1.475,+Inf)

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v←rep(0, length(a)-1)

p←numeric(length(a)-1)

for(i in 1:6)

	$\left\{  \begin{array}{l} p\left\lbrack  i\right\rbrack   = \text{ pnorm ((a[i+1] -mu.hat)/sig.hat) -pnorm ((a[i] -mu.hat)/sig.hat) } \\   \end{array}\right.$

			$v\left\lbrack  i\right\rbrack   <  - \operatorname{sum}\left( {a\left\lbrack  i\right\rbrack   < x\;\& \;x <  = a\left\lbrack  {i + 1}\right\rbrack  }\right)$

	\}

$\mathrm{n} <  - \operatorname{sum}\left( \mathrm{v}\right)$

$K <  - \operatorname{sum}\left( {\left( {v - n * p}\right)  \cap  2/\left( {n * p}\right) }\right)$

list(K=K, X2.value=qchisq(1-alpha, length(v)-r-1))

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