第八章习题

8.1.

设 $X_1,\cdots ,X_{16}$ 是来自正态总体 $N\left(\mu ,16\right)$ 的样本,考虑检验问题 $H_0:\mu =6.H_1$ : $\mu =6.5$. 若检验的拒绝域取为 $\left\{\bar{x}\ge 6+u_{0.95}\right\}$,试求该检验犯第一类错误与犯第二类错误的

8.2.

设总体 $X$ 服从泊松分布,即

$$P\left(X=k\right)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-\lambda },k=0,1,2,\cdots ,$$

其中 $\lambda$ 是未知的正数, $X_1,X_2,\cdots ,X_{10}$ 为来自 $X$ 的简单随机样本. 对检验问题 $H_0:\lambda =$ $0.2,H_1:\lambda =0.1$,试求拒绝域为 $\left\{\left(x_1,x_2,\cdots ,x_{10}\right):\sum _{i=1}^{10}{x}_i=0\right\}$ 的检验犯两类错误的概率.

8.3.

设 $X_1$ 与 $X_2$ 相互独立,分别服从 $N\left({\theta }_1,{\sigma }_0^2\right)$ 和 $N\left({\theta }_2,{\sigma }_0^2\right)$,其中 ${\sigma }_0^2$ 已知,对假设检验问题 $H_0:{\theta }_1={\theta }_2=0,H_1:{\theta }_1^2+{\theta }_2^2>0$. 当且仅当 $x_1^2+x_2^2\ge c$ 时拒绝原假设 $H_0$. 试问 $c$ 为何值时,该检验犯第一类错误的概率为 $\alpha$.

8.4.

根据以往记录,某区域早稻平均亩产为 $350\mathrm{kg}$,今年选用新早稻品种耕种,收割时, 随机抽取了 10 块,测出每块的实际亩产量为 $x_1,x_2,\cdots ,x_{10}$,计算得 $\bar{x}=\frac{1}{10}\sum ^{10}{x}_i=480$, 如未知道早稻田产量服从正态分布 $N\left(\mu ,144\right)$,试在显著水平 $\alpha =0.05$ 下,检验假设 $H_0$ : $\mu \le 350,H_1:\mu >350$.

8.5.

设随机地从一批钉子中抽取 10 枚, 测得它们的长度 (单位: cm) 为

$$2.14,2.10,2.13,2.15,2.12,2.16,2.13,2.11,2.15,2.11$$

设钉子的长度 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$,是否可以认为钉子的平均长度 $\mu =2.15\left(\alpha =0.05\right)$ ?

8.6.

从切割机切割所得的金属棒中, 随机抽取 13 根, 测得长度 (单位: cm) 为

$$10.6,10.1,10.4,10.5,10.3,10.2,10.9,10.6,10.8,10.5,10.7,10.2,10.7$$

设金属棒长度 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$. 是否可以认为金属棒长度的标准差 $\sigma =0.15$ (显著水平 $\alpha =0.05)$ ?

8.7.

某种导线的电阻 (单位: $\Omega$ ) 服从正态分布,按照规定,电阻的标准差不得超过 0.005 现从一家新厂生产的一批导线中任取 9 根,测得修正样本标准差 $s_9^{\ast }=0.007$,问这批导线的电阻的标准差,比起规定的电阻的标准差来,是否显著的偏大 (显著水平 $\alpha =0.05$ )?

8.8.

某电子元件的寿命 (单位: 小时) $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$,其中 $\mu ,{\sigma }^2$ 未知,现测得 16 只元件,计算样本均值 $\bar{x}=241.5000$,修正样本标准差 $s_{16}^{\ast }=98.7259$. 试在显著水平 $\alpha =0.05$ 下, 检验下列假设.

(1)元件的平均寿命是否大于 225 小时?

(2) 元件寿命的标准差 $\sigma$ 是否等于 100 ?

8.9.

甲、乙两公司都生产 $700\mathrm{MB}$ 的光盘,从甲生产的产品中抽查了 7 张光盘. 从乙生产的产品中抽查了 9 张光盘, 分别测得它们的存储量如下: 现已知甲的光盘储量 $X\sim N\left({\mu }_1,5\right),Y\sim N\left({\mu }_2,12\right)$. 在显著水平 $\alpha =0.05$ 下,比较甲、乙两家公司生产的光盘的平均储量有无显著差异?

	683	682	683	678	681	680	677
甲(X)	683	682	683	678	681	680	677
乙(Y)	681	682	671	677	680	677	679	681	683

8.10.

为了研究正常成年男、女血液红细胞数 (单位: 万 $/{\mathrm{mm}}^3$ ) 的差异,随机地抽取正常成年男、女各 26 名、14 名,计算得样本均值分别为 $\bar{x}=465.13,\bar{y}=422.16$,修正样本标准差分别为 $s_1^{\ast }=54.80,s_2^{\ast }=49.2$. 假定正常男、女的红细胞数服从正态分布且方差相等,试位验该地正常成年人的细胞平均数是否与性别有关 $\left(\alpha =0.05\right)$ ?

8.11.

人们发现在早期酿造啤酒时, 在麦芽干燥过程中形成致癌物质亚硝酸基二甲氨. 到后期开发了一种新的麦芽干燥过程, 下面给出分别在新老两种过程中形成亚硝酸基二甲氨含量 (以 10 亿份中的份数计):

老过程:6,4,5,5,6,5,5,6,4,6,7,4

新讨程:2,1,2,2,1,0,3,2,1,0

假定两样本分别来自正态总体, 且两总体的方差相等, 但参数均未知, 两样本独立, 分别以 ${\mu }_1,{\mu }_2$ 记对应于老、新过程的总体均值,试在显著水平 $\alpha =0.05$ 检验假设: $H_0:{\mu }_1-{\mu }_2\le$ 2. $H_1:{\mu }_1-{\mu }_2>2$.

8.12.

比较甲乙两种棉花品种的优劣, 假设用它们纺出的棉纱强度分别服从正态分布 $N\left({\mu }_1,{\sigma }_1^2\right),N\left({\mu }_2,{\sigma }_2^2\right)$,试验者分别从这两种棉纱中抽取样本容量 $n_1=100,n_2=50$ 的样本, 测得样本均值分别为 $\bar{x}=5.6,\bar{y}=5.2$,修正样本方差分别为 $s_1^{\ast 2}=4,s_2^{\ast 2}=2.56$. 设两样本相互独立. 试分别在下列条件下 (水平 $\alpha =0.05$ ),检验假设: $H_0:{\mu }_1\le {\mu }_2,H_1:{\mu }_1>{\mu }_2$. (1) ${\sigma }_1^2={2.2}^2,{\sigma }_2^2={1.8}^2$,(2) ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$ 未知.

8.13.

应用某药物治疗 9 位高血压病人,治疗前后的舒张压 (单位:p / kPa) 见下表: 设治疗前后的舒张压之差服从正态分布,试在显著水平 $\alpha =0.05$ 下,检验该药物对降低舒张压是否有显著疗效?

病人编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
治疗前	12.8	13.3	13.3	14.1	13.6	14.4	13.3	13.1	13.3
治疗后	11.7	12.3	13.1	13.6	13.1	13.6	12.8	13.1	12.5

8.14.

某种物品在处理前与处理后分别抽样分析其含脂率如下:

处理前:0.19,0.18,0.21,0.30,0.41,0.12,0.27

处理后:0.15,0.13,0.07,0.24,0.19,0.06,0.08,0.12

设处理前后的含脂率都服从正态分布,试在显著水平 $\alpha =0.05$ 下,检验处理前后含脂率的方差是否有显著差异?

8.15.

甲、乙两台车床生产的某种零件的直径 (单位: $\mathrm{mm}$ ) 都服从正态分布,为了比较两台车床的加工精度有无差别, 现从甲、乙两台车床生产的零件中分别抽取 8 个和 9 个, 测得直径如下:

车床类型	零件尺寸（单位同上）
甲车床生产的零件	15.0, 14.5, 15.2, 15.5, 14.9, 15.1, 15.1, 14.8
乙车床生产的零件	15.2, 15.0, 14.8, 15.2, 15.0, 15.1, 14.8, 15.1, 14.8

是否可以认为乙车床产品的方差不大于甲车床产品的方差 (显著水平 $\alpha =0.05$ )?

8.16.

为了比较水稻品种甲与乙的产量, 随机抽选取 18 块环境相近的试验田, 在其中的 8 块试验田种植甲品种, 在其中的 10 块试验田种植乙品种, 测得亩产量如下 (单位: kg):

甲类:910,1028,983,1015,954,1012,930,925,

乙类:833,935,898,870,960,967,898,880,903,826

假设两种水稻产量均服从正态分布,试在显著水平 $\alpha =0.05$ 下,检验两个品种的产量是否服从相同的分布.

8.17.

某工厂 (工作日为周一至周五) 近五年发生了 63 次事故, 按星期几记录如下表:

星期	一	二	三	四	五
次数	12	14	13	9	15

问在显著水平 $\alpha =0.05$ 下可否认为事故的发生次数与星期几有关?

8.18.

从总体 $X$ 中抽取容量为 100 的样本,频数分布如下表:

区间	$[0,0.2)$	$[0.2,0.4)$	$[0.4,0.6)$	$[0.6,0.8)$	$[0.8,1]$
频数	3	12	19	28	38

设能否被接受. 试在显著水平 $\alpha =0.05$ 下,检验该总体的分布密度函数为 $p_0\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}2x,& 0\le x\le 1,\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$ 的假