题型 1 关于事件关系及概率的判断

6.1

设 $A$ 和 $B$ 是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是( ).

(A) $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 不相容

(B) $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 相容

(C) $P\left(AB\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$

(D) $P\left(A-B\right)=P\left(A\right)$

解

根据题意, $A$ 和 $B$ 是任意两个不相容事件, $AB=\varnothing$,从而 $P\left(AB\right)=0$. 又 $A=\left(A-B\right)$ $\cup \left(AB\right)$,且 $\left(A-B\right)\cap \left(AB\right)=\varnothing$,故 $P\left(A\right)=P\left(A-B\right)+P\left(AB\right)=P\left(A-B\right)$. 所以 (D) 项一定成立.

另外,由于 $P\left(A\right)\ne 0,P\left(B\right)\ne 0,\left(\mathrm{C}\right)$ 项不可能成立.

值得注意的是 (A) 项和 (B) 项, 有读者可能认为 (A) 项与 (B) 项是互逆的, 总有一个是正确的. 实际上,若 $AB=\varnothing ,A\cup B\ne \Omega$ 时,(A) 不成立;

$AB=\varnothing$ 且 $A\cup B=\Omega$ 时,(B) 项不成立.

故应选 (D).

点评

选择题主要考查基本概念、性质、定理, 一般来说难度并不太大. 选择题大致可分为两类:概念性、理论性选择题和计算性选择题. 对于前者,主要运用基本概念、定理、公理、公式、 法则及逻辑关系等基本工具对问题进行分析和逻辑推理, 从而确定正确答案. 对于计算性选择题, 需要经过计算才能选出正确选项. 而有些问题的处理, 则需要采用概念和计算相结合的方法.

6.2

对于任意两个随机事件 $A$ 与 $B$,其对立的充要条件为( ).

(A) $A$ 与 $B$ 至少有一个发生

(B) $A$ 与 $B$ 不同时发生量 20

(C) $A$ 与 $B$ 至少必有一个发生,且 $A$ 与 $B$ 至少必有一个不发生

(D) $A$ 与 $B$ 至少必有一个不发生

解

$A$ 与 $B$ 对立 $\iff A\cup B=\Omega$ 且 $AB=\varnothing \iff \bar{A}\cup \bar{B}=\Omega$ 且 $\bar{A}\bar{B}=\varnothing$,由此不难判定

(C) 正确.

6.3

设 $A$ 、 $B$ 为随机事件,且 $P\left(B\right)>0,P\left(A\mid B\right)=1$,则必有( ).

(A) $P\left(A\cup B\right)>P\left(A\right)$ (B) $P\left(A\cup B\right)>P\left(B\right)$

(C) $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)$ (D) $P\left(A\cup B\right)=P\left(B\right)$

解

因为 $P\left(A\mid B\right)=1$,故 $\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}=1$,即 $P\left(AB\right)=P\left(B\right)$

则 $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)=P\left(A\right)$.

故应选(C).

6.4

设 $A,B,C$ 为随机事件, $P\left(ABC\right)=0$,且 $0<P\left(C\right)<1$,则一定有( ).

(A) $P\left(ABC\right)=P\left(A\right)P\left(B\right)P\left(C\right)$

(B) $P\left(\left(A+B\right)\mid C\right)=P\left(A\mid C\right)+P\left(B\mid C\right)$

(C) $P\left(A+B+C\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)$

(D) $P\left(\left(A+B\right)\mid \bar{C}\right)=P\left(A\mid \bar{C}\right)+P\left(B\mid \bar{C}\right)$

解

$P\left(\left(A+B\right)\mid C\right)=\frac{P\left(AC+BC\right)}{P\left(C\right)}=\frac{P\left(AC\right)+P\left(BC\right)}{P\left(C\right)}=P\left(A\mid C\right)+P\left(B\mid C\right)$

故应选(B).

6.5

若 $A$ 、 $B$ 为任意两个随机事件,则( ).

(A) $P\left(AB\right)\le P\left(A\right)P\left(B\right)$. (B) $P\left(AB\right)\ge P\left(A\right)P\left(B\right)$.

(C) $P\left(AB\right)\le \frac{P\left(A\right)+P\left(B\right)}{2}$. (D) $P\left(AB\right)\ge \frac{P\left(A\right)+P\left(B\right)}{2}$.

解

对于 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ 选项

当事件 $A$ 与 $B$ 独立时, $P\left(AB\right)=P\left(A\right)P\left(B\right)$.

而当 $A,B$ 不独立时, $P\left(AB\right)$ 与 $P\left(A\right)P\left(B\right)$ 没有确定的关系,所以 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ 选项错误.

对于 $\mathrm{C},\mathrm{D}$ 选项:

由概率性质

$$P\left(A\right)\ge P\left(AB\right),$$ $$P\left(B\right)\ge P\left(AB\right),$$

两式相加, 得

$$P\left(A\right)+P\left(B\right)\ge 2P\left(AB\right),$$

即 $P\left(AB\right)\le \frac{P\left(A\right)+P\left(B\right)}{2}$.

故应选(C).

点评

本题考查概率的性质, 解法多样, 常见思路有:

1. 利用概率单调性.

因为 $AB\subset A$,所以 $P\left(AB\right)\le P\left(A\right)$.

同理, $P\left(AB\right)\le P\left(B\right)$.

因此, $P\left(A\right)+P\left(B\right)\ge 2P\left(AB\right)$,即 $P\left(AB\right)\le \frac{P\left(A\right)+P\left(B\right)}{2}$.

2. 利用广义加法分式.

因为 $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)$,

所以 $P\left(A\right)+P\left(B\right)-2P\left(AB\right)=P\left(A\cup B\right)-P\left(AB\right)\ge 0$,

即 $P\left(A\right)+P\left(B\right)\ge 2P\left(AB\right)$,故 $P\left(AB\right)\le \frac{P\left(A\right)+P\left(B\right)}{2}$.

6.6

设 $A$ 、 $B$ 为任意两个事件且 $A\subset B$, $P\left(B\right)>0$,则下列选项必然成立的是( ).

(A) $P\left(A\right)<P\left(A\mid B\right)$ (B) $P\left(A\right)\le P\left(A\mid B\right)$

(C) $P\left(A\right)>P\left(A\mid B\right)$ (D) $P\left(A\right)\ge P\left(A\mid B\right)$

解

因为 $A\subset B,0<P\left(B\right)\le 1$,所以 $A=AB$,那么

$P\left(A\right)=P\left(AB\right)=P\left(B\right)P\left(A\mid B\right)\le P\left(A\mid B\right)$

故应选 (B).

6.7

设事件 $A$ 与事件 $B$ 互不相容,则( ).

(A) $P\left(\bar{A}\bar{B}\right)=0$ (B) $P\left(AB\right)=P\left(A\right)P\left(B\right)$

(C) $P\left(A\right)=1-P\left(B\right)$ (D) $P\left(\bar{A}\cup \bar{B}\right)=1$

解

因为 $A$ 、 $B$ 互不相容,所以 $P\left(AB\right)=0$,则

$$P\left(\bar{A}\cup \bar{B}\right)=1-P\left(AB\right)=1.$$

故应选(D).