题型 2 利用公式求概率

6.8

从 $0,1,2,\cdots ,9$ 十个号码中随机取出四个号码,排成一个四位数,求这个四位数能被 5 整除的概率.

解法一

因为要构成四位数, 故首位不是零, 而能被 5 整除, 则末位数是 0 或 5.

$$P\left(A\right)=\frac{P_9^3+\left(P_9^3-P_8^2\right)}{P_{10}^4-P_9^3}=\frac{17}{81}.$$

解法二

利用乘法原理

$$P\left(A\right)=\frac{9\cdot 8\cdot 7+8\cdot 8\cdot 7}{9\cdot 9\cdot 8\cdot 7}=\frac{17}{81}$$

6.9

将 3 个球随机地放入 4 个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为 1,2,3 的概率.

解

把 3 个球放入 4 只杯中共有 $4^3$ 种.

记 $A=$ “杯中球的最大个数为 1 ”,事件 $A$ 即为从 4 只杯中选出 3 只,然后将 3 个球放到 3 只杯中去,每只杯中一个球,则 $A$ 所含的样本点数 $C_4^3\cdot P_3^3=24$,则

$$P\left(A\right)=\frac{24}{4^3}=\frac{3}{8}.$$

记 $B=$ “杯中球的最大个数为 2 ”. 事件 $B$ 即为从 4 只杯中选出 1 只,再从 3 个球中选中 2 个放到此杯中,剩余 1 球放到另外 3 只杯中的某一个中,则 $B$ 所含的样本点数为 $C_4^1\cdot C_3^2\cdot C_3^1=36$.

$$P\left(C\right)=\frac{36}{4^3}=\frac{9}{16}.$$

记 $C=$ “杯中球的最大个数为 3 ”,类似地, $C$ 所含的样本点数 $C_4^1\cdot C_3^3=4$,从而

$$P\left(C\right)=\frac{4}{4^3}=\frac{1}{16}.$$

6.10

在区间 $\left(0,1\right)$ 中随机地取两个数,则事件“两数之和小于 $\frac{6}{5}$ ” 的概率为_____.

解

这是一个几何概率问题,以 $x,y$ 表示 $\left(0,1\right)$ 中随机地取得两个数,则 $\left(x,y\right)$ 点的全体是如图 1-6.10 所示的正方形, 而事件{两数之和小于 $\frac{6}{5}$ } 发生的充要条件为 $\left(x+y\right)<\frac{6}{5}$,即落在图中阴影部分的点 $\left(x,y\right)$ 的全体. 根据几何概率的定义, 所求的概率即为图中阴影部分面积与边长为 1 的正方形面积之比, 即

$$P\left\{x+y<\frac{6}{5}\right\}=1-\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{17}{25}$$

图 1-6.10

故应填 $\frac{17}{25}$.

6.11

在某城市中发行三种报纸 $A\text{、}B\text{、}C$,经调查,订阅 $A$ 报的有 $45\%$,订阅 $B$ 报的有 35%,订阅 $C$ 报的有 30%,同时订阅 $A$ 及 $B$ 报的有 $10\%$,同时订阅 $A$ 及 $C$ 报的有 $8\%$,同时订阅 $B$ 及 $C$ 报的有 $5\%$,同时订阅 $A\text{、}B\text{、}C$ 报的有 $3\%$. 试求下列事件的概率:

(1)只订 $A$ 报的；(2)只订 $A$ 及 $B$ 报的；(3)只订一种报纸的；(4)恰好订两种报纸的；(5)

至少订阅一种报纸的；(6) 不订阅任何报纸的；(7) 至多订阅一种报纸的.

解

(1) $P\left(A\bar{B}\bar{C}\right)=P\left(A-B-C\right)=P\left(A-\left(B\cup C\right)\right)=P\left(A-A\left(B\cup C\right)\right)$

$$=P\left(A\right)-P\left(A\left(B\cup C\right)\right)=P\left(A\right)-P\left(AB\right)-P\left(AC\right)+P\left(ABC\right)$$ $$=0.45-0.1-0.08+0.03=0.30$$

(2) $P\left(AB\bar{C}\right)=P\left(AB-C\right)=P\left(AB-ABC\right)=P\left(AB\right)-P\left(ABC\right)$

$$=0.10-0.03=0.07$$

(3) $P\left(A\bar{B}\bar{C}\cup \bar{A}B\bar{C}\cup \bar{A}\bar{B}C\right)=P\left(A\bar{B}\bar{C}\right)+P\left(\bar{A}B\bar{C}\right)+P\left(\bar{A}\bar{B}C\right)$

$=0.30+P\left(B-B\left(A\cup C\right)\right)+P\left(C-C\left(A\cup B\right)\right)$

$=0.30+P\left(B\right)-P\left(AB\right)-P\left(BC\right)+P\left(ABC\right)+P\left(C\right)-P\left(CA\right)-P\left(CB\right)+P\left(ABC\right)$

$=0.30+0.35-0.10-0.05+0.03+0.30-0.08-0.05+0.03=0.73$

(4) $P\left(AB\bar{C}\cup A\bar{B}C\cup \bar{A}BC\right)=P\left(AB\bar{C}\right)+P\left(A\bar{B}C\right)+P\left(\bar{A}BC\right)$

$=P\left(AB\right)-P\left(ABC\right)+P\left(AC\right)-P\left(ABC\right)+P\left(BC\right)-P\left(ABC\right)$

$=P\left(AB\right)+P\left(AC\right)+P\left(BC\right)-3P\left(ABC\right)$

$=0.10+0.08+0.05-3\times 0.03=0.14$

(5) $P\left(A\cup B\cup C\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)-P\left(AB\right)-P\left(AC\right)-P\left(BC\right)+P\left(ABC\right)$

$=0.45+0.35+0.30-0.10-0.08-0.05+0.03=0.90$

(6) $P\left(\bar{A}\bar{B}\bar{C}\right)=1-P\left(A\cup B\cup C\right)=1-0.90=0.10$

(7) $P\left(\bar{A}\bar{B}\bar{C}+A\bar{B}\bar{C}+\bar{A}B\bar{C}+\bar{A}\bar{B}C\right)=P\left(\bar{A}\bar{B}\bar{C}\right)+P\left(A\bar{B}\bar{C}\right)+P\left(\bar{A}B\bar{C}\right)+P\left(\bar{A}\bar{B}C\right)$

$$=0.10+0.73=0.83\text{.}$$

6.12

在 1500 个产品中有 400 个次品, 1100 个正品, 任取 200 个, (1) 求恰有 90 个次品的概率论与数理统计习题精选精解概率; (2) 求至少有 2 个次品的概率.

解

(1)产品的所有取法构成样本空间,其中所含的样本数为 $C_{1500}^{200}$,用 $A$ 表示取出的产品中恰有 90 个次品,则 $A$ 中的样本数为 $C_{400}^{90}\cdot C_{1100}^{110}$,因此

$$P\left(A\right)=\frac{C_{400}^{90}\cdot C_{1100}^{110}}{C_{1500}^{200}}$$

(2)用 $B$ 表示至少有 2 个次品,则 $\bar{B}$ 表示取出的产品中至多有一个次品, $\bar{B}$ 中的样本点数为 $C_{400}^1{C}_{1100}^{199}+C_{1100}^{200}$,从而 $P\left(\bar{B}\right)=\frac{C_{400}^1{C}_{1100}^{199}+C_{1100}^{200}}{C_{1500}^{200}}$,因此

$$P\left(B\right)=1-P\left(\bar{B}\right)=1-\frac{C_{400}^1{C}_{1100}^{199}+C_{1100}^{200}}{C_{1500}^{200}}$$

6.13

从 5 双不同的鞋子中任取 4 只,这 4 只鞋子中至少有 2 只配成一双的概率是多少？

解

由题意,样本空间所含的样本点数 $C_{10}^4$,用 $A$ 表示 “ 4 只鞋子中至少有 2 只配成一对”,则 $\bar{A}$ 表示“ 4 只鞋中没有 2 只配成一双”, $\bar{A}$ 的样本点数为 $C_5^4\cdot 2^4$ (先从 5 双鞋中任取 4 双,再从每双中任取一只). 则 $P\left(\bar{A}\right)=\frac{C_5^4\cdot 2^4}{C_{10}^4}=\frac{8}{21}$,从而 $P\left(A\right)=1-\frac{8}{21}=\frac{13}{21}$.

6.14

设 $P\left(A\right)=a,P\left(B\right)=0.3,P\left(\bar{A}\cup B\right)=0.7$. 若事件 $A$ 与 $B$ 互不相容,则 $a=$ _____. 若事件 $A$ 与 $B$ 相互独立,则 $a=$ _____.

解

由概率的加法公式和概率的包含可减性知

$$P\left(\bar{A}\cup B\right)=P\left(\bar{A}\right)+P\left(B\right)-P\left(\bar{A}B\right)=P\left(\bar{A}\right)+P\left(B\right)-\left[P\left(B\right)-P\left(AB\right)\right]$$ $$=1-P\left(A\right)+P\left(AB\right)$$

由题设可知

$$0.7=1-a+P\left(AB\right)$$

①

(1)若事件 $A$ 与 $B$ 互不相容,则 $AB=\varnothing ,P\left(AB\right)=0$,代入上式得 $a=0.3$;

(2)若事件 $A$ 与 $B$ 相互独立,则有

$$P\left(AB\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$$

②

将 ② 式代入 ① 式右端,可得

$$0.7=1-a+0.3a$$

于是解得 $a=\frac{3}{7}$.

6.15

一批产品共有 10 个正品和 2 个次品,任意抽取两次,每次抽出一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为_____.

解

设 $A$ 表示事件 {第一次抽取的是正品}, $B$ 表示事件 {第二次抽取的是次品},则

$$P\left(A\right)=\frac{5}{6},P\left(\bar{A}\right)=\frac{1}{6}$$

且

$$P\left(B\mid A\right)=\frac{2}{11},P\left(B\mid \bar{A}\right)=\frac{1}{11}$$

由全概率公式知

$$P\left(B\right)=P\left(A\right)P\left(B\mid A\right)+P\left(\bar{A}\right)P\left(B\mid \bar{A}\right)=\frac{5}{6}\cdot \frac{2}{11}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{11}=\frac{1}{6}.$$

6.16

假设一批产品中一、二、三等品各占 60%,30%,10%,从中随意抽取出一件,结果不是三等品,则取到的是一等品的概率为_____.

解

设 $A_i=\{$ 取到 $i$ 等品 $\},i=1,2,3$,则根据题意知,

$$P\left(A_1\right)=0.6,P\left(A_2\right)=0.3P\left(A_3\right)=0.1,$$

由条件概率公式易知,

$$P\left(A_1\mid {\bar{A}}_3\right)=\frac{P\left(A_1{\bar{A}}_3\right)}{P\left({\bar{A}}_3\right)}=\frac{P\left(A_1\right)}{1-P\left(A_3\right)}=\frac{0.6}{0.9}=\frac{2}{3}.$$

6.17

已知 $P\left(\bar{A}\right)=0.3,P\left(B\right)=0.4,P\left(A\bar{B}\right)=0.5$,求 $P\left(B\mid A\cup \bar{B}\right)$.

解

由于 $A=AB\cup A\bar{B}$,且 $\left(AB\right)\cap \left(A\bar{B}\right)=\varnothing$

从而 $P\left(A\right)=P\left(AB\right)+P\left(A\bar{B}\right)$

所以 $P\left(AB\right)=P\left(A\right)-P\left(A\bar{B}\right)=0.7-0.5=0.2$

又 $P\left(A\cup \bar{B}\right)=P\left(A\right)+P\left(\bar{B}\right)-P\left(A\bar{B}\right)=0.7+0.6-0.5=0.8$

故 $P\left(B\mid A\cup \bar{B}\right)=\frac{P\left(B\cap \left(A\cup \bar{B}\right)\right)}{P\left(A\cup \bar{B}\right)}=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(A\cup \bar{B}\right)}=\frac{0.2}{0.8}=0.25$

6.18

已知 $P\left(A\right)=\frac{1}{4},P\left(B\mid A\right)=\frac{1}{3},P\left(A\mid B\right)=\frac{1}{2}$,求 $P\left(A\cup B\right)$.

解

$P\left(AB\right)=P\left(B\mid A\right)\cdot P\left(A\right)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{12}$,

$P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}=\frac{1}{2}$,则 $P\left(B\right)=\frac{1}{6}$,

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)=\frac{1}{6}+\frac{1}{4}-\frac{1}{12}=\frac{1}{3}.$

6.19

(1)设 $A,B,C$ 是三事件,且 $P\left(A\right)=P\left(B\right)=P\left(C\right)=\frac{1}{4},P\left(AB\right)=P\left(BC\right)=0$, $P\left(AC\right)=\frac{1}{8}$,求 $A,B,C$ 至少有一个发生的概率.

( 2 )已知 $P\left(A\right)=\frac{1}{2},P\left(B\right)=\frac{1}{3},P\left(C\right)=\frac{1}{5},P\left(AB\right)=\frac{1}{10},P\left(AC\right)=\frac{1}{15},P\left(BC\right)=\frac{1}{20}$, $P\left(ABC\right)=\frac{1}{30}$,求 $A\cup B,\bar{A}\bar{B},A\cup B\cup C,\bar{A}\bar{B}\bar{C},\bar{A}\bar{B}C,\bar{A}\bar{B}\cup C$ 的概率.

(3) 已知 $P\left(A\right)=\frac{1}{2}$,① 若 $A,B$ 互不相容,求 $P\left(A\bar{B}\right)$; ② 若 $P\left(AB\right)=\frac{1}{8}$,求 $P\left(A\bar{B}\right)$.

解

(1) $P\left(A\cup B\cup C\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)-P\left(AB\right)-P\left(BC\right)-P\left(AC\right)+P\left(ABC\right)$

$$=\frac{5}{8}+P\left(ABC\right).$$

由 $ABC\subset AB$,已知 $P\left(AB\right)=0$,故 $0\le P\left(ABC\right)\le P\left(AB\right)=0$,得 $P\left(ABC\right)=0$.

所求概率为 $P\left(A\cup B\cup C\right)=\frac{5}{8}$.

(2) $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{10}=\frac{11}{15}$.

$P\left(\bar{A}\bar{B}\right)=P\left(\overline{A\cup B}\right)=1-P\left(A\cup B\right)=\frac{4}{15}.$

$P\left(A\cup B\cup C\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)-P\left(AB\right)-P\left(AC\right)-P\left(BC\right)+P\left(ABC\right)$

$$=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{10}-\frac{1}{15}-\frac{1}{20}+\frac{1}{30}=\frac{17}{20}\text{.}$$

$P\left(\bar{A}\bar{B}\bar{C}\right)=P\left(\overline{A\cup B\cup C}\right)=1-P\left(A\cup B\cup C\right)=\frac{3}{20}.$

$P\left(\bar{A}\bar{B}C\right)=P\left(\bar{A}\bar{B}-\bar{A}\bar{B}\bar{C}\right)=P\left(\bar{A}\bar{B}\right)-P\left(\bar{A}\bar{B}\bar{C}\right)=\frac{4}{15}-\frac{3}{20}=\frac{7}{60}.$

$P\left(\bar{A}\bar{B}\cup C\right)=P\left(\bar{A}\bar{B}\right)+P\left(C\right)-P\left(\bar{A}\bar{B}C\right)=\frac{4}{15}+\frac{1}{5}-\frac{7}{60}=\frac{7}{20}.$

(3) $\text{①}P\left(A\bar{B}\right)=P\left(A\left(S-B\right)\right)=P\left(A-AB\right)=P\left(A\right)-P\left(AB\right)=\frac{1}{2}$.

② $P\left(A\bar{B}\right)=P\left(A\left(S-B\right)\right)=P\left(A-AB\right)=P\left(A\right)-P\left(AB\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$.